Question

no desenvolvimento de (3x+y)⁶, com expoentes crescentes de x, determine:
a) o termo em x⁶​

Answer 1

Tendo uma expansão do tipo :

$(\text{A+B})^{\text n}$

Usando o Termo geral do Binômio de Newton, podemos encontrar qualquer termo e seu respectivo coeficiente através da relação :

$\displaystyle \text T= {\text n \choose \text p}.\text A^{(\text n -\text p )}.\text B^{(\text p)}$

Onde :

P = posição do termo que queremos

A questão nos pede o termo em $\text x^6$ em :

$(3\text x + \text y)^6$

Usando o termo geral do binômio de newton, temos :

$\displaystyle \text T= {6 \choose \text p}.(3\text x)^{(6 -\text p )}.\text y^{(\text p)}$

$\displaystyle \text T= {6 \choose \text p}.(3)^{(6 -\text p )}^.(\text x)^{(6 -\text p )}.\text y^{(\text p)}$

Então temos que ter :

$\text x^{(6 -\text p )} = \text x^{6 }$

$6-\text p = 6 \to \boxed{ \text p = 0 }$

Substituindo :

$\displaystyle \text T= {6 \choose 0}.(3)^{(6 -0 )}^.(\text x)^{(6 -0 )}.\text y^{(0)}$

$\displaystyle \text T= \frac{6!}{0!.(6-0)! }3^6.\text x^6.1$

$\displaystyle \text T= 1.729.\text x^6$

Portanto o termo em $\text x^6$ é :

$\huge\boxed{729}\checkmark$

Comentário :  

Nos produtos notáveis vemos que os coeficientes da expansão são os números do triângulo de Pascal.

Triângulo de Pascal :

$\text{Linha 1} \to 1 \ 1\\ \text{Linha 2} \to 1 \ 2 \ 1\\ \text{Linha 3}\to 1\ 3\ 3\ 1 \\ \text{Linha 4}\to 1\ 4\ 6\ 4\ 1 \\ \text{Linha 5}\to 1\ 5\ 10\ 10\ 5\ 1 \\ \text{Linha 6}\to 1\ 6\ 15\ 20\ 15\ 6\ 1 \\ ...$

Expansão dos Produtos notáveis :

$(\text{A+B})^1 = \text {1.A+1.B} \to \text{coeficientes = 1 \ 1}$

$(\text{A+B})^2 = 1.\text A^2 +2.\text{A.B}+ 1.\text B^2 \to \text{coeficientes = 1\ 2\ 1}$

$(\text{A+B})^3=1.\text A^3+3.\text{A}^2.\text B + 3.\text A.\text B^2+1.\text B^3 \to \text{coeficientes= 1\ 3\ 3\ 1}$

....

O expoente da expansão indica a linhas do triângulo de pascal.  

E as variáveis variam alternadamente, vemos que o A começa no expoente máximo e vai descendo até $\text A^0$ e o B começa em $\text B^0$ e vai subindo até o expoente máximo.

Então na expansão de expoente 6, teremos :

$(\text{A+B})^6 = 1.\text A^6+6.\text A^5.\text B+15.\text A^4.\text B^2+20.\text A^3.\text B^3 + 15.\text A^2.\text B^4 + 6\text A.\text B^5 + 1.\text B^6$

Answer 2

Resposta:

Tendo uma expansão do tipo :

(\text{A+B})^{\text n}(A+B)

n

Usando o Termo geral do Binômio de Newton, podemos encontrar qualquer termo e seu respectivo coeficiente através da relação :

\displaystyle \text T= {\text n \choose \text p}.\text A^{(\text n -\text p )}.\text B^{(\text p)}T=(

p

n

).A

(n−p)

.B

(p)

Onde :

P = posição do termo que queremos

A questão nos pede o termo em \text x^6x

6

em :

(3\text x + \text y)^6(3x+y)

6

Usando o termo geral do binômio de newton, temos :

\displaystyle \text T= {6 \choose \text p}.(3\text x)^{(6 -\text p )}.\text y^{(\text p)}T=(

p

6

).(3x)

(6−p)

.y

(p)

\displaystyle \text T= {6 \choose \text p}.(3)^{(6 -\text p )}^.(\text x)^{(6 -\text p )}.\text y^{(\text p)}

Então temos que ter :

\text x^{(6 -\text p )} = \text x^{6 }x

(6−p)

=x

6

6-\text p = 6 \to \boxed{ \text p = 0 }6−p=6→

p=0

Substituindo :

\displaystyle \text T= {6 \choose 0}.(3)^{(6 -0 )}^.(\text x)^{(6 -0 )}.\text y^{(0)}

\displaystyle \text T= \frac{6!}{0!.(6-0)! }3^6.\text x^6.1T=

0!.(6−0)!

6!

3

6

.x

6

.1

\displaystyle \text T= 1.729.\text x^6T=1.729.x

6

Portanto o termo em \text x^6x

6

é :

\huge\boxed{729}\checkmark

729

✓

Comentário :

Nos produtos notáveis vemos que os coeficientes da expansão são os números do triângulo de Pascal.

Triângulo de Pascal :

\begin{gathered}\text{Linha 1} \to 1 \ 1\\ \text{Linha 2} \to 1 \ 2 \ 1\\ \text{Linha 3}\to 1\ 3\ 3\ 1 \\ \text{Linha 4}\to 1\ 4\ 6\ 4\ 1 \\ \text{Linha 5}\to 1\ 5\ 10\ 10\ 5\ 1 \\ \text{Linha 6}\to 1\ 6\ 15\ 20\ 15\ 6\ 1 \\ ...\end{gathered}

Linha 1→1 1

Linha 2→1 2 1

Linha 3→1 3 3 1

Linha 4→1 4 6 4 1

Linha 5→1 5 10 10 5 1

Linha 6→1 6 15 20 15 6 1

...

Expansão dos Produtos notáveis :

(\text{A+B})^1 = \text {1.A+1.B} \to \text{coeficientes = 1 \ 1}(A+B)

1

=1.A+1.B→coeficientes = 1 1

(\text{A+B})^2 = 1.\text A^2 +2.\text{A.B}+ 1.\text B^2 \to \text{coeficientes = 1\ 2\ 1}(A+B)

2

=1.A

2

+2.A.B+1.B

2

→coeficientes = 1 2 1

(\text{A+B})^3=1.\text A^3+3.\text{A}^2.\text B + 3.\text A.\text B^2+1.\text B^3 \to \text{coeficientes= 1\ 3\ 3\ 1}(A+B)

3

=1.A

3

+3.A

2

.B+3.A.B

2

+1.B

3

→coeficientes= 1 3 3 1

....

O expoente da expansão indica a linhas do triângulo de pascal.

E as variáveis variam alternadamente, vemos que o A começa no expoente máximo e vai descendo até \text A^0A

0

e o B começa em \text B^0B

0

e vai subindo até o expoente máximo.

Então na expansão de expoente 6, teremos :

(\text{A+B})^6 = 1.\text A^6+6.\text A^5.\text B+15.\text A^4.\text B^2+20.\text A^3.\text B^3 + 15.\text A^2.\text B^4 + 6\text A.\text B^5 + 1.\text B^6(A+B)

6

=1.A

6

+6.A

5

.B+15.A

4

.B

2

+20.A

3

.B

3

+15.A

2

.B

4

+6A.B

5

+1.B

6

Explicação passo-a-passo:

espero ter ajudado