Question

As equações x² - 9y² - 36 = 0, x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0 e x² - 4x - 4y + 8 = 0, representam, respectivamente, uma:
a) elipse, uma circunferência e uma parábola.
b) elipse, uma circunferência e uma reta.
c) hipérbole, uma circunferência e uma reta
d) hipérbole, uma circunferência e uma parábola.
e) hipérbole, uma elipse e uma parábola.

Answer 1

Resposta:

d) hipérbole ; circunferência ; parábola

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

As equações :

a) x² - 9y² - 36 = 0,                  

b) x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0  

c) x² - 4x - 4y + 8 = 0

representam, respetivamente :

Resolução:  

a) x² - 9y² - 36 = 0 é uma Hipérbole

Dado que ambas as variáveis estão elevadas ao quadrado, e têm sinais opostos, então esta cónica é uma hipérbole.

Passando 36 para 2º membro, trocando o sinal.

Dividindo todos termos por 36

x² - 9y² - 36 = 0

⇔   $\frac{x^{2} }{36} -\frac{9y^{2} }{36} =\frac{36}{36}$

⇔   $\frac{x^{2} }{36} -\frac{9y^{2} }{4} =1$      e está na forma       $\frac{x^{2} }{a^{2} } -\frac{y^{2} }{b^{2} } =1$

b) x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0  

É uma circunferência de centro (1 ; - 2 ) e raio  2

O procedimento que vou a seguir fazer chama-se " completar o quadrado".

Com ele vamos obter:

no 1º membro os valores das coordenadas do centro da circunferência

no 2º membro o valor de seu raio ao quadrado

Como fazer:

1º ) Agrupamos os termos em x, começando por o termo em x²

2º) A este grupo juntamos "o quadrado de metade do coeficiente "em x" "

3º) Idêntico procedimento para os termos "em y"

4º) Como adicionamos valores no primeiro membro da equação, para manter "equilibrada a equação" adicionamos os mesmos valores ao 2º membro.

5º) O termo independente da equação inicial vai enviado para o 2º membro da equação.

( x² - 2x + (2/2)²) + ( y² + 4y +(4/2)²) = 1 +  (2/2)² + (4/2)²

( x² - 2x + 1² ) + ( y² + 4y + 2²) = - 1 + 1 + 4

( x - 1 )² + ( y + 2 )² = = 2²

( x - 1 )² + ( y - ( - 2) )² = 2²

Observação 1 → ( x - 1 )²  e ( y + 2 )² são os quadrados completados

( realmente ambas as expressões estão elevadas ao quadrado)

Observação 2 → A equação reduzida da circunferência é do tipo:

(x – a)² + (y – b)² = r²

Em que ( a ; b ) são as coordenadas do centro e "r" o seu raio

Observação 3 → Tive que transformar, dentro das regras da Matemática,

( y + 2 )²   em ( y - ( - 2 ))² para ficar na forma de Equação Reduzida da Circunferência.

c) x² - 4x - 4y + 8 = 0    Uma parábola    

Dado que apenas uma variável está elevado ao quadrado, a cónica é uma parábola.

Vértice ( 2 ; 1 )

Eixo de simetria dado pela reta de equação x = 2

Concavidade virada para cima ( coeficiente de x² é 1/4 , logo positivo)

Resolvendo em "ordem a y", vai-se encontrar a Forma Padrão desta parábola:

x² - 4x - 4y + 8 = 0

- 4y=  - x² + 4x - 8

Dividindo todos os termos por " - 4 "

y = 1/4 * x² - x + 2

Bom estudo.

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Sinais: ( / ) divisão

Answer 2

A alternativa D é a correta. As equações dadas representam, respectivamente, hipérbole, circunferência e uma parábola.

Equação Reduzida da Circunferência

Considere uma circunferência. A equação reduzida de uma circunferência pode ser escrita da seguinte maneira:

(x - xc)² + (y - yc)² = R²

Em que:

• xc é a abscissa do centro da circunferência;
• yc é a ordenada do centro da circunferência;
• R é o raio da circunferência.

Função Quadrática

Considere a função quadrática genérica dada pela fórmula:

f(x) = ax² + bx + c; a ≠ 0

Os números a, b, e c são os coeficientes da função.

Elipse

Uma elipse corresponde ao lugar geométrico dos pontos que seguem a relação:

ax² + by² + cx + dy + e = 0

Os números a, b, c, d, e são os coeficientes da função, com a ≠ b.

Assim, analisando as equações dadas:

• I) x² - 9y² - 36 = 0

Note que o coeficiente que multiplica o termo x² é diferente do coeficiente que multiplica y². Podemos classificar a equação como elipse.

• II) x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0

Formando quadrados, podemos reescrever a equação:

x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0

x² - 2x + y² + 4y + 1 = 0

(x² - 2x + 1) + (y² + 4y + 4) + 1 = 0 + 1 + 4

(x - 1)² + (y + 2)² + 1 = 5

(x - 1)² + (y + 2)² = 4

Note que se trata de uma circunferência.

• III) x² - 4x - 4y + 8 = 0

Isolando a parcela com o termo y:

x² - 4x - 4y + 8 = 0

4y = x² - 4x + 8

y = (1/4)x² - x + 2

Temos uma equação de parábola.

A alternativa D é a correta.

Para saber mais sobre Círculo e Circunferência, acesse: brainly.com.br/tarefa/41553153

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