Question

Poderiam me ajudar a resolver essa questão?

Encontre as curvas integrais para equação x dy/dx + y = x² y² .

Answer 1

$x. \frac{dy}{dx} + y = x^{2}y^{2}$

Dividindo por x temos:

$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = xy^{2}$

Dividindo tupo por y²:

$y^{-2}. \frac{dy}{dx} + \frac{1}{xy} = x$

Como se trata de uma equação de Bernoulli, vamos fazer a seguinte mudança de variável:

$u = \frac{1}{y} \\ \\ \frac{du}{dx} = (0 . y - 1 . \frac{dy}{dx}) /y^{2} = -y^{-2} . \frac{dy}{dx} \\ \\ y^{-2} . \frac{dy}{dx} = - \frac{du}{dx}$

Então, substituindo:

$- \frac{du}{dx} + \frac{u}{x} = x$

Multiplicando por -1:

$\frac{du}{dx} - \frac{u}{x} = -x$

Agora temos que encontrar o fator integrante:

k = $e^{ \int\ {p(x)} \, dx }$, sendo p(x) = $- \frac{1}{x}$

Assim:

$k=e^{ \int\ {- \frac{1}{x} } \, dx } = e^{ -\int\ { \frac{1}{x} } \, dx }=e^{ -ln(x) } = e^{ lnx^{-1} } \\ \\ k = x^{-1}$

Agora multiplicamos toda a equação por k:

$x^{-1}.\frac{du}{dx} - x^{-1}.\frac{u}{x} = -x.x^{-1} \\ \\ x^{-1}.\frac{du}{dx} - x^{-2}.u = -1$

Agora, sabemos que:

$\frac{d(u.k)}{dx} = \frac{du}{dx} . k + u . \frac{dk}{dx}$

Então, podemos escrever a igualdade,

$x^{-1}.\frac{du}{dx} - x^{-2}.u = \frac{d(u . x^{-1} )}{dx}$

Então, agora a equação fica:

$\frac{d(u . x^{-1} )}{dx} = -1$

Passando dx para o outro membro:

$d(u . x^{-1} ) = -1 dx$

Integrando os dois membros:

$\int\ {d(u . x^{-1} )} \, = \int\ {-1 } \, dx \\ \\ u . x^{-1} = -x+C \\ \\ u = \frac{-x+C}{x^{-1} } \\ \\ u = - x^{2} + xC$

Lembre-se de que inicialmente, u = 1/y, então:

$u = - x^{2} + xC \\ \\ \frac{1}{y} =- x^{2} + xC$

Logo, a resposta final será:

$\boxed{\boxed{y(x) = \frac{1}{- x^{2} + xC} }}$