Question

O triângulo ABC está inscrito num semicírculo de diâmetro AB e centro O. As medidas do ângulo CÔA e do lado AC são, respectivamente, 12° e 4 raiz de 3 cm. A medida do raio do círculo, em cm, é

Answer 1

O triângulo COA é um triângulo isósceles, pois CO e AO são raios da circunferência. Então:
CO = AO
A base deste triângulo isósceles é o lado AC, que, de acordo com o enunciado da questão, mede 4√3 cm e é oposto ao ângulo de 12º.
Como este triângulo é isósceles, os ângulos da base são iguais:
OCA = OAC
Como a soma dos ângulos internos deste triângulo é igual a 180º, temos:
OCA + OAC + COA = 180º
Como COA = 12º:
OCA + OAC + 12º = 180º
OCA + OAC = 180º - 12º
OCA + OAC = 168º
Como OCA = OAC:
2 × OCA = 168º
OCA = 168º ÷ 2
OCA = 84º
OAC = 84º

Para calcularmos agora o valor do lado, temos vários caminhos. Um deles, pode ser a utilização da lei dos senos:
AC/sen 12º = OC/sen 84º
Como AC é conhecido (4√3 = 6,928 cm), substituindo os valores, temos:
6,928/0,2079 = OC/0,9945
Multiplicando os meios pelos extremos:
OC × 0,2079 = 6,928 × 0,9945
OC = 6,889896 ÷ 0,2079
OC = 33,14 cm, raio da circunferência

Uma outra maneira de calcular o lado deste triângulo isósceles, seria traçar a altura relativa à base. Ao ponto médio da base chamaremos de M.
O triângulo OMC é retângulo em M, o cateto MC vale a metade da base AC (4√3 ÷ 2) e o ângulo oposto a este cateto mede 6º (a metade do ângulo de 12º) e a hipotenusa é o lado do triângulo isósceles OC (raio da circunferência).
Aplicando-se a este triângulo a função trigonométrica seno, temos:
sen 6º = cateto oposto ÷ hipotenusa
0,1045 = 2√3 ÷ OC
OC = 3,464 ÷ 0,1045
OC = 33,148 cm, raio da circunferência