Question

Qual é o número de dois algarismos que é o quadrado de um número natural que tem 9 divisores?

Answer 1

Podemos representar um número natural pelo seus fatores primos.
n = $2^{x}.3^{y}.5^{z}.7^{w}...$

Como este número é um quadrado, todos os índices acima têm que ser pares. Mas como ele tem dois algarismos, poucas combinações são possíveis:

Poderíamos ter apenas um índice com o valor 2 e os demais com valor 0, mas nenhum destes quadrados teria 9 divisores, pois o número de divisores seria dado pelo número de possibilidades que o índice poderia assumir entre 0 a 2, isto é, 3 divisores.

Assumindo que dois índices sejam iguais a 2, o maior número com 2 algarismos obtido seria 2².3², uma vez que 2².5² = 100 (três algarismos).

A única opção possível é 2².3² = 36. Resta saber se tem 9 divisores mesmo. Agora temos um problema de contagem, onde os divisores são números no formato $2^{x}.3^{y}$, cujos índices x e y podem assumir valores de 0 a 2. Como temos 3 opções para x (0, 1 e 2) e 3 opções para y (0, 1 e 2), o total de divisores será dado por 3.3 = 9. Logo, 36 é o nosso número.

Resposta: 36.