Question

A(1,2,0 ), B(0,−2,0) e C(12,0,−17√2), O triângulo [ABC] é: Retangulo em c, equilatero, escaleno ou obtusângulo em C?

Answer 1

Vamos analisar os seguintes casos :

Se o triângulo for retângulo em C o teorema de pitágoras é válido :

$\text{AB}^2=\text{AC}^2+\text{BC}^2$

Se o triângulo for equilátero :

$\text{AB}=\text{AC}=\text{BC}$

Se o triângulo for escaleno :

$\text{AB}\neq\text{AC}\neq\text{BC}$

Se o triângulo for obtusângulo :

$\text {Cos(C)} < 0$

(obs: só fazer lei dos cossenos :

Sendo assim, temos as coordenadas do triângulo ABC :

A(1,2,0 ), B(0,−2,0) e C(12,0,−17√2)

Vamos achar os lados usando distância entre dois pontos :

Lado AB :

$\text{AB}=\sqrt{(1-0)^2+(2-(-2))^2+(0-0)^2}\\\\ \text{AB} = \sqrt{17}$

Lado AC :

$\text{AC} =\sqrt{(1-12)^2+(2-0)^2+(0-(-17\sqrt{2}))^2} \\\\ \text{AC} =\sqrt{121+4+578} \\\\ \text{AC} = \sqrt{703}$

Lado BC :

$\text{BC} = \sqrt{(0-12)^2+(-2-0)^2+(0-(17\sqrt{2}))^2 } \\\\ \text{BC} = \sqrt{144+4+578}\\\\ \text{BC} =\sqrt{726} \\\\ \text{BC}=11\sqrt{6}$

Testando os casos.

1º Teorema de pitágoras :

$\text{AB}^2=\text{AC}^2+\text{BC}^2$

$(\sqrt{17})^2 = (\sqrt{703})^2+(11\sqrt{6})^2 \to \huge{\text{(FALSO)}}$  

2º triângulo equilátero :

$\text{AB}=\text{AC}=\text{BC}$

$\sqrt{17}=\sqrt{703}=11\sqrt{6} \to \huge{\text{(FALSO)}}$

3º triângulo escaleno :

$\text{AB}\neq\text{AC}\neq\text{BC}$

$\sqrt{17}\neq\sqrt{703}\neq11\sqrt{6} \to \huge\text{(VERDADEIRO)}$  

4º Obtusângulo  em C :

$\text {Cos(C)} < 0$  

$\displaystyle \text{cos(C)} = \frac{\text{AC}^2+\text{BC}^2-\text{AB}^2}{2.\text{AC.BC}} < 0$

$\displaystyle \frac{(\sqrt{703})^2+(\sqrt{726})^2-(\sqrt{17})^2}{2.\sqrt{17}.\sqrt{726} } < 0 \\\\\\ \huge{\text{(FALSO)}}$