Matéria: Matemática
Autor: pedroeuricodias
Perguntado 5 anos atrás

Seja f(x) = x² - 8x + c uma função quadrática e c um número real.

Sendo xV e yV, respectivamente, a abscissa e a ordenada do vértice da parábola descrita por essa função, determine o valor de c para que xV + yV = 0.

Respostas

respondido por: Nasgovaskov

Dada a função do 2º grau

$\Large\begin{array}{c}\\\sf f(x)=x^{\:\!2}-8x+c\\\\\end{array}$

, identificando os seus coeficientes temos que (lembrando da lei de formação y = ax² + bx + c):

$\large\begin{array}{c}\begin{cases}\boldsymbol{\sf a}\sf=1\\\boldsymbol{\sf b}\sf=-\:8\\\boldsymbol{\sf c}\sf=c\end{cases}\end{array}$

Prosseguindo, sabemos pelo enunciado que c ∈ ℝ, e então queremos determinar o valor de c para que a soma da abscissa com a ordenada do vértice, seja igual a zero:

$\Large\begin{array}{c}\\\sf x_v+y_v=0\\\\\end{array}$

É sabido que o x do vértice é dado por xᵥ = – b/2a, e o y do vértice por yᵥ = – Δ/4a. Assim basta substituir os coeficientes da função na equação xᵥ + yᵥ = 0, que foi apresentada agora pouco.

obs.: lembrando que Δ = b² – 4ac.

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$\begin{array}{l}\quad\quad\quad\ \ \sf x_v+y_v=0\\\\\sf\iff~~~\!-\dfrac{~b~}{2a}+\bigg(\!\!\!-\dfrac{~b^{\:\!2}-4ac~}{4a}\!\bigg)=0\\\\\sf\iff~~~\!-\dfrac{-\:8~}{2\cdot1}-\dfrac{~(-\:8)^{\:\!2}-4\cdot1\cdot c~}{4\cdot1}=0\\\\\sf\iff~~~\dfrac{~8~}{2}-\dfrac{~64-4c~}{4}=0\\\\\sf\iff~~~4-\dfrac{~64-4c~}{4}=0\\\\\sf\iff~~~4-\dfrac{~4\cdot\big(16-c\big)~}{4}=0\\\\\sf\iff~~~4-\big(16-c\big)=0\\\\\sf\iff~~~4-16+c=0\\\\\sf\iff~~~\!-12+c=0\\\\~~\!\therefore~~~~~\boldsymbol{\boxed{\sf c=12}}\end{array}$