Question

Qual a Integral ?
$\int\limits \frac{2x}{2x+1} \, dx$

Me ajudem por favor!!!!

Answer 1

Olá,

Temos a integral:

$\tt \int \: \dfrac{2x}{2x + 1} dx$

Faremos a resolução da integral por substituição. Assim, temos:

$\tt \: u = 2x + 1 \to \: 2x = u - 1 \\ \\ \tt \: \frac{du}{dx} = 2 \to \: dx = \frac{du}{2}$

Substituindo na integral:

$\tt = \int \: \dfrac{2x}{2x + 1} dx \\ \\ \tt = \tt \int \: \dfrac{u - 1}{u} \frac{du}{2} \\ \\ \tt = \frac{1}{2} \int \: \left( \frac{u - 1}{u} \right)du \\ \\ \tt = \frac{1}{2} \int \: \left( \frac{u}{u} - \frac{1}{u} \right)du \\ \\ \tt = \frac{1}{2} \int \: \left( 1 - \frac{1}{u} \right)du \\ \\ \tt = \frac{1}{2} \left( \int \: 1 \: du - \int \: \frac{1}{u} \: du \right) \\ \\ \tt = \frac{1}{2} u - \frac{1}{2} ln |u| + k$

Substituindo $\tt \: u = 2x + 1 {:}$

$\tt \boxed{ \tt \int \frac{2x}{2x + 1} dx = \frac{1}{2} (2x + 1) - \frac{1}{2} ln |2x + 1| + k}$