Question

como foi simplificada esta integral?
a integral é $\int\limits ln(2x+1)\, dx$

a reposta é ln(2x+1).x - x+$\frac{1}{2}$ ln(2x+1)

foi simplificada para $(x+\frac{1}{2} )ln(2x+1) - x + c$

como foi simplificada? qual "regra' foi usada?

Tô o dia inteiro envolvido nisso,, me ajudem por favor

Answer 1

Resposta:

Temos a seguinte integral:

$\int 1. \ln(2x + 1)dx$

Pela regra LIATE sabe-se que uma função Logarítmica (LIATE) vem antes de uma função Algébrica (LIATE), logo a função que vem antes tem prioridade em ser derivada, já a outra deve ser integrada. Então:

$u = \ln(2x + 1) \: \: \: e \: \: \: dv = 1$

Derivando a função "u", tem-se que:

$u = \ln(2x + 1) \to \frac{du}{dx} = \frac{1}{2x + 1} . \frac{d}{dx} (2x) \to du = \frac{2}{2x + 1} dx$

Integrando a função dv:

$dv = 1 \to \int dv = \int1dx \to v = x$

Substituindo esses dados na relação da integração por partes:

$\int u.v = u.v - \int v.du \\ \int 1. \ln(2x + 1) = \ln(2x + 1).x - \int x. \frac{2}{2x + 1} dx \\ \int 1. \ln(2x + 1) = \ln(2x + 1).x - \int \frac{2}{1}. \frac{x}{2 + 1} dx\\ \int 1. \ln(2x + 1) = \ln(2x + 1).x - 2 \int \frac{x}{2x + 1} dx$

Para resolver aquela integral interna, deve-se usar a divisão polinomial longa:

$\begin{array}{c|c}x \: \: \: \: \: &2x + 1\\ - x \: - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \: \: \: 0 - \frac{1}{2} & &&&&&\end{array}$

Através dessa divisão e de uma relação da divisão polinomial mostrada abaixo, podemos dizer que é dada por:

$\frac{1}{2} + \frac{ - \frac{1}{2} }{2x + 1} \to \frac{1}{2} + \left( - \frac{1}{2}. \frac{1}{2x + 1} \right) \\ \frac{1}{2} - \frac{1}{2.(2x + 1)}$

Substituindo esse dado na integral:

$\int 1. \ln(2x + 1) = \ln(2x + 1).x - 2 . \left(\int \frac{1}{2} - \frac{1}{2(2x + 1)} dx \right) \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \int 1. \ln(2x + 1) = \ln(2x + 1).x - 2 \int \frac{1}{2}dx + 2\int \frac{1}{2.(2x + 1)} dx \\ \\ \int 1. \ln(2x + 1) = \ln(2x + 1).x - 2. \frac{x}{2} + 2. \frac{1}{2} \int \frac{1}{2x + 1} dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \int 1. \: \: \: \: \: \: \: \ln(2x + 1) = \ln(2x + 1).x - x + \int \frac{1}{2x + 1} dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Resolvendo aquela integral interna por substituição:

$u = 2x + 1 \to du = 2dx \to \frac{du}{2} = dx \\ \\ \int \frac{1}{u} . \frac{du}{2} \to \frac{1}{2} \int\frac{du}{u} \to \frac{1}{2}. \ln ( |u| ) \to \frac{ \ln( |2x + 1)| }{2}$

Substituindo esse resultado onde paramos:

$\int 1. \ln(2x + 1) = \ln(2x + 1).x - x + \frac{ \ln( |2x + 1| )}{2}$

Chegamos no mesmo resultado da professora, agora devemos simplificar esse resultado:

$\ln(2x + 1).x - x + \frac{ 1}{2} . \ln( |2x + 1| )$

Observe que em ambos termos temos os logarítmos naturais que são praticamente iguais, então podemos colocar em evidência:

$\ln(2x + 1). \left(x + \frac{1}{2} \right ) - x + k , \: k\in \mathbb{R}$

Portanto o método foi basicamente a fatoração.

Espero ter ajudado