Question

Como eu calculo esse limite $\lim _{t\to \:0}\left(\frac{\sin ^2\left(\frac{t}{2}\right)}{\sin \left(t\right)}\right)$ ?

Answer 1

Para resolver limites com indeterminações podemos dar um jeito de eliminar ela, ou então utilizar L'hôpital, porém só em determinadas condições, irei responder a questão utilizando os dois métodos, para responder sem derivadas vamos precisar de algumas identidades trigonometricas, o nosso limite é:

                                      $\Large\text{ \displaystyle\lim_{t \to 0} \left(\dfrac{\sin^2\left(\dfrac{t}{2}\right)}{\sin\left(t\right)}\right) }$

Iremos utilizar as seguinte identidades:

                                  $\Large\displaystyle\tan\left(\dfrac{t}{2}\right) = \dfrac{1-\cos (t)}{\sin (t)}$

E

                                  $\Large\displaystyle\sin^2\left(\dfrac{t}{2}\right) = \dfrac{1-\cos \left(t\right)}{2}$

Com isso já podemos aonde iremos chegar né?

Então vamos aplicar a segunda identidade no nosso limite, teremos então:

                                        $\Large\displaystyle\lim_{t \to 0} \left(\dfrac{1-\cos \left(t\right)}{2\sin\left(t\right)}\right)$

Agora podemos aplicar a primeira identidade, porém teremos que multiplicar os dois lados por 1/2, ficando então:

                                           $\Large\displaystyle\lim_{t \to 0}\ \dfrac{1}{2}\tan\left(\dfrac{t}{2}\right)$

Agora não tem mais indeterminação, basta fazer o limite e teremos o seguinte resultado:

                                       $\Large\displaystyle\begin{aligned}&\lim_{t \to 0}\ \dfrac{1}{2}\tan\left(\dfrac{0}{2}\right)\\ \\&\lim_{t \to 0}\ \dfrac{1}{2}\cdot 0\\ \\&\lim_{t \to 0}\ \dfrac{1}{2}\tan\cdot 0 = 0\\ \\\end{aligned}$

A tangente de 0 é definida e vale 0, então temos tudo multiplicado por 0, portanto esse é o limite, sem indeterminações, agora outra maneira de resolver seria por L'hôpital, que é definido como:

                                    $\Large\displaystyle\lim_{x \to a} \ \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \ \dfrac{f'(x)}{g'(x)}$

Isso só é válido em indeterminações do tipo

$\Large\dfrac{0}{0} \text{ e } \dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$

E obviamente g' ≠ 0, f(x) e g(x) diferenciáveis.

Aplicando a regra no limite temos:

                                       $\Large\text{ \displaystyle\lim_{t \to 0} \left(\dfrac{\sin^2\left(\dfrac{t}{2}\right)}{\sin\left(t\right)}\right) }$

Sendo:

                                           $\Large\displaystyle\begin{aligned}f(t) &= \sin^2\left(\dfrac{t}{2}\right)\\\\g(t) &= \sin \left(t\right)\end{aligned}$

Obtendo as derivadas:

                                          $\Large\displaystyle\begin{aligned}f'(t) &= \sin\left(\dfrac{t}{2}\right)\cos\left(\dfrac{t}{2}\right)\\ \\g'(t) &= \cos \left(t\right)\end{aligned}$

Logo, nosso novo limite é

                              $\Large\text{ \displaystyle\lim_{t \to 0} \left(\dfrac{\sin\left(\dfrac{t}{2}\right)\cos\left(\dfrac{t}{2}\right)}{\cos\left(t\right)}\right) }$

Resolvendo ele temos então:

                               $\Large\text{ \displaystyle\begin{aligned}&\lim_{t \to 0} \left(\dfrac{\sin\left(\dfrac{0}{2}\right)\cos\left(\dfrac{0}{2}\right)}{\cos\left(0\right)}\right)\\ \\ &\lim_{t \to 0} \left(\dfrac{0\cdot 1}{1}\right)\\ \\ &\lim_{t \to 0} \left(\dfrac{0\cdot 1}{1}\right) = 0\\ \\ \end{aligned} }$

Veja que os limites dão iguais nos dois métodos.

Portanto

                                 $\Large\text{ \displaystyle\lim_{t \to 0} \left(\dfrac{\sin^2\left(\dfrac{t}{2}\right)}{\sin\left(t\right)}\right) = 0 }$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários

Segue em anexo o gráfico da função do problema

Veja mais sobre em:

brainly.com.br/tarefa/32860536

brainly.com.br/tarefa/28470738

brainly.com.br/tarefa/33786532

Answer 2

Resposta:

Segue resolução por imagem

Explicação passo-a-passo: