Um salão foi dividido para comportar três seções
eleitorais. Para organizar o espaço, uma pessoa que entendia um
pouco de matemática, utilizando o metro como unidade de
medida de comprimento, traçou um sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais a partir do centro do salão e, em seguida,
marcou os pontos correspondentes aos afixos dos números
complexos raízes da equação z
6
= −729i. Cada uma das três urnas
ficará em um desses pontos, de forma alternada: o ponto entre
duas urnas ficará desocupado. A área de cada uma das três seções
é determinada pelo quadrilátero de vértices na origem do sistema,
no ponto da respectiva urna e nos dois pontos adjacentes a este
e sem urna..
A distância entre duas urnas e a área de cada seção eleitoral
serão, respectivamente, iguais a
Respostas
Oii, Ana Paula!
Essa questão é do PAS 3 do subprograma de 2017-2019, né? Ela exige bastante conhecimento prévio sobre números complexos e eu vou partir do princípio que já sabes a base, ok? Se ficares com dúvida em algo, estou por aqui.
> A primeira coisa que precisamos entender é o enunciado, a questão deu uma "função de números complexos" e, com ela, podemos fazer a projeção de um gráfico com 6 pontos. Esse gráfico vai formar um hexágono regular, (como na foto 1 que eu anexei) . Depois disso, a questão fala que um ponto equivale a uma Urna, o seguinte é vazio, o próximo é outra urna e assim em diante. Com isso, temos 3 urnas e 3 vazios (no meu gráfico, eu vou tomar Z1, Z3 e Z5 como urnas). Daí, ele vai delimitar Zonas para essas urnas, eu pintei de Vermelho, Azul e verde para ajudar a visualizar (fotos 2 e 3).
Lembrando que estamos mexendo com potência de complexos, ou seja, existem 6 números complexos Z que, ao serem elevados à 6 potência, resultam em -729i. E são esses 6 números que representam os vértices do hexágono. Temos de achá-los e, para isso, comecemos transformando Z = -729i para sua forma polar:
> lembrado que a forma polar é assim: |z|(cosΘ+i.senΘ)
Cálculo do argumento:
|z| = √(x²+y²), em que x é a parte imaginária e y é a real
|z| = √((-729)²+0²)
|z| = 729
Agora, cálculo de Θ:
senΘ = x / |z|
sen Θ = -729 / 729 = -1
cos Θ = y / |z|
cos Θ = 0 / 729 = 0
Portanto, o único ângulo que tem sen = -1 e cos= 0 é 270º
Então, sabemos que a forma polar de Z = - 729i é 729(cos270º+isen270º) ou só 729(cis270º) para simplificar,
> Beleza, agora sim, apliquemos a fórmula de Moivre par saber quais são esses 6 números complexos que representam os vértices do hexágono:
P⁶ (cos 6Θ+isen 6Θ) = 729(cos270º+isen270º)
Igualar argumentos:
P⁶ = 729
P = ⁶√729
P = 3
Igualar ângulos:
6Θ = 270º
Θ = 45º
Ou seja, achamos, com a fórmula de Moivre, o primeiro número da sequência (Z1 do gráfico), ele é 3(cis45º),
> Para achar os outros, precisamos lembrar que o argumento vai se manter em todos (3), mas o ângulo vai crescer. Para saber o quanto ele cresce, pegamos 360º e dividimos pela quantidade de números complexos, ou seja, pela potência de Z (que, no caso, é 6)
360/6 = 60º, ou seja, a diferença angular entre o primeiro número e o segundo é de 60º. Com isso, finalmente, sabemos todos os vértices do hexágono em suas formas polares:
z1 = 3(cis45º)
z2 =3(cis105º),
z3 =3(cis165º),
z4 =3(cis225º),
z5 =3(cis285º),
z6 =3(cis345º)
> Beleza, daqui pra frente tem muitas formas de resolver, eu fui por trigonometria pq acho mais fácil, ok? Não vou explicar tudo porque já está bem grande, mas vou anexar uma outra imagem para visualizares melhor.
> Para achar a distância entre as Urnas Z1 e Z3, eu desenhei as diagonais da zona vermelha (como mostra na imagem com o triângulo rosa, foto 4, uma diagonal é 3 e a outra eu chamei de l). Daí eu apliquei o Cos 30º nesse triângulo rosa:
Cos 30º = √3/2 = (l/2)/3
l = 3√3
(se tiveres na prova do PAS, por eliminação, já dá para saber que é letra B)
> Agora precisamos da área desse quadrilátero e, para isso é só fazer o Determinante com os pontos dos vértices e dividir por 2. Para isso, eu pensei muito sobre como achar as coordenadas dos vértices e, no fim, achei que o jeito mais fácil era brincar com a figura, peguei só o hexágono e passei um novo plano cartesiano partindo de seu centro, como na figura 5, fiz o equivalente a rotacionar o hexágono.
Obs: Nesse processo, as coordenadas vão mudar, mas não a Área, é por conta disso que rotacionar dá certo.
Os pontos são:
Z1 = ((3√3)/2 , 3/2)
Z2 = (0 , 3)
Z3 = ((-3√3)/2 , 3/2)
O ( 0,0)
Daí é só calcular o determinante (novamente, eu vou fazer de um jeito que acho mais simples, mas isso é individual)
0 , 0
3√3/2 3/2
0, 3
-3√3/2 3/2
0, 0
Det = 0 * 3/2 + 3√3/2 * 3 + 0 * 3/2 + ( -3√3/2) * 0 - ( 0 * 3√3/2 + 3/2 * 0 + 3 * -3√3/2 + 3/2 * 0)
Det = (9√3)/2 + (9√3)/2
Det = (18√3)/2 = 9√3
E, por fim, Área = Det/2 = (9√3)/2,
letra B
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Enfim, estou estudando para o PAS e demorei muito tempo tentando resolver a questão. Numa que finalmente consegui, achei que seria válido compartilhar a resolução. Eventuais errinhos e coisas que passaram batido, só me avisar.
Bons estudos para ti!
