Question

O valor de log 16 32 é:
2
4/5
4
5/4​

Answer 1

Antes, confira algumas das propriedades dos logaritmos que serão usadas nesta questão:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf1^a)~~log\!\:_a\,b^c~\Leftrightarrow~c\cdot log\!\:_{a}\,b\\\\\sf2^a)~~log\!\:_{a^c}\,b~\Leftrightarrow~\dfrac{~1~}{c}\cdot log\!\:_{a}\,b\end{array}}$

• 1ª) o expoente do logaritmando passa multiplicando o logaritmo;
• 2ª) o expoente da base passa sendo o seu inverso multiplicando o logaritmo.

⠀

Prosseguindo, vamos encontrar o valor do logaritmo abaixo:

$\\\boxed{\begin{array}{l}\sf log\!\:_{16}\,32=\:\:?\end{array}}$

O que podemos fazer aqui, é tentar deixar a base e o logaritmando iguais para que possamos usar logₐ a ⇔ 1.

Então transformando em potências de mesma base:

• 16 = 2*2*2*2 = 2⁴
• 32 = 2*2*2*2*2 = 2⁵

Assim desenvolvendo e aplicando as propriedades mostrada no inicio:

$\begin{array}{l}\\\sf log\!\:_{16}\,\:\!32=log\!\:_{2^4}\,\:\!2^5\\\\\sf log\!\:_{16}\,\:\!32=5\cdot log\!\:_{2^4}\,\:\!2\\\\\sf log\!\:_{16}\,\:\!32=\dfrac{~1~}{4}\cdot5\cdot log\!\:_{2}\,\:\!2\\\\\sf log\!\:_{16}\,\:\!32=\dfrac{~5~}{4}\cdot log\!\:_{2}\,\:\!2\\\\\sf log\!\:_{16}\,\:\!32=\dfrac{~5~}{4}\cdot1\\\\\!\boldsymbol{\boxed{\sf log\!\:_{16}\,\:\!32=\dfrac{~5~}{4}}}\\\\\end{array}$

R: 4ª opção.

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