Question

As integrais de funções de uma variável real podem ser utilizadas na determinação do volume de sólidos
de rotação. Para isso, é fundamental a identificação da função a ser integrada e da região de integração.
Deseja-se determinar o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada
pelas seguintes curvas:
yrek y=0, x=le x2
Assinale a alternativa que indica corretamente a integral que deve ser empregada para o cálculo do
volume do sólido em questão.

Answer 1

Primeiro devemos plotar o gráfico da função, para isso utilizarei o Geogebra. Após isso indetifica-se a região que será rotacionada, como pode ser observada pela figura anexada. Pelas alternativas, é possível observar que a relação usada é o método do discos. Dividindo isso em um disco, temos que o seu volume é dado pelo volume do próprio círculo, então:

$dV = \pi.r {}^{2} \to dV = \pi. {(e {}^{x}) }^{2} \to dV= \pi.e {}^{2x}$

Somando esses infinitos discos dentro desse volume formado, usamos a integral, então;

$\int dV =\int\limits_{a }^{b } \pi.e{}^{2x} dx \to V = \pi. \int\limits_{a }^{b }e {}^{2x} dx$

Agora basta substituir os limites de integração:

$\boxed{V = \pi\int\limits_{1}^{2 } e {}^{2x} dx }$

Espero ter ajudado