Question

As integrais de funções de uma variável real podem ser úteis para encontrar a velocidade de um corpo
dada sua taxa de aceleração. Com base nessas informações, considere a seguinte situação:

Um foguete, inicialmente em repouso, foi projetado para que durante a primeira fase de lançamento
acelere a uma taxa de 3et m/s? Supondo que a primeira fase dure 4 segundos. Assinale a alternativa
que contém a velocidade aproximada desse foguete ao final dessa fase.
А.)
160,79 m/s
B)
256,69 m/s.
C )
63.79 m/s
D)
54.60 m/s
E) 173,79 m/s

Answer 1

Como sabemos a aceleração instantânea é dada pela relação da variação infinitesimal da velocidade pela variação infinitesimal do tempo. Matematicamente, tem-se que:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: a = \frac{dv}{dt} \: \: \: \bullet$

O enunciado diz que quando o corpo está em repouso, ou seja, parado, a aceleração possui o valor de $a=3e^t$. Além disso vale ressaltar que repouso quer dizer velocidade igual a 0m/s e tempo igual a 0s. Substituindo o dado:

$3e {}^{t} = \frac{dv}{dt} \to dv = 3e {}^{t} dt$

Como sabemos, a integral da aceleração é igual a velocidade, portanto vamos integrar a função:

$\int dv = \int3e { }^{t} dt \to v = 3e {}^{t} + k, \: k\in\mathbb{R}$

Como eu havia dito a velocidade é 0 e o tempo também, logo podemos fazer a substituição desses dados na relação da velocidade:

$0 = 3 {e}^{0} + k \to 0 = 3.1 + k \to k = - 3$

Substituindo o valor de "k" na relação de veloc.;

$v = 3e {}^{t} - 3$

Agora basta calcular a velocidade no t = 4 segundos. Substituindo na fórmula:

$v = 3.e {}^{4} - 3 \to v = 160,79 \: m/s$

Espero ter ajudado