Question

5 - A área do triângulo ABC, de altura h=v2, sendo X = 30° e Y = 45° é.
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Answer 1

$\large \sf A \ \'area \ do \ tri\^angulo \ \'e: \ \left(\dfrac {\sqrt 3}{3} + 1 \right)$

******************************

• Se h é altura do triângulo então no ponto H há dois ângulos retos. Pode-se portanto aplicar as razões trigonométricas no triângulo retângulo.

$\large \sf tangente = \dfrac{cateto \ oposto}{cateto \ adjacente}$

• Considere n o segmento AH e m o segmento HB.

• No triângulo CHB:

$\large \sf tg \ 45 ^\circ = \dfrac{m}{h}$

m = h ⋅ tg 45° ⟹ Sendo tg 45° = 1, substitua.

m = h ①

• No triângulo CAH:

$\large \sf tg \ 30 ^\circ = \dfrac{n}{h}$

n = h ⋅ tg 30° ⟹  $\large \sf Sendo \ tg \ 30 ^\circ = \dfrac{\sqrt 3}{3}, \ substitua.$

$\large \sf n = h \cdot \dfrac{\sqrt 3}{3}$  ②

• A área do triângulo é obtida por:

$\large \sf A = \dfrac{b \times h}{2}$  onde:

b: base do triângulo (n + m) ③.

h: altura do triângulo.

• Substitua as equações ①, ② e ③ na fórmula da área.

$\large \sf A = \dfrac{(n + m) \times h}{2}$

$\large \text { \sf A = \dfrac{\left(h \cdot \dfrac {\sqrt 3}{3} + h \right) \times h}{2} }$  ⟹ Fatore (fator comum em evidência).

$\large \text { \sf A = \dfrac{\left(\dfrac {\sqrt 3}{3} + 1 \right) \times h^2}{2} }$  ⟹ Execute a divisão por 2.

$\large \sf A = \left(\dfrac {\sqrt 3}{6} + \dfrac {1}{2} \right) \times h^2$   ⟹ Substitua h por √̅2̅.

$\large \sf A = \left(\dfrac {\sqrt 3}{6} + \dfrac {1}{2} \right) \times \sqrt {2} \ ^{^2}$

$\large \sf A = \left(\dfrac {\sqrt 3}{6} + \dfrac {1}{2} \right) \times 2$

$\large \sf A = \left(\dfrac {\sqrt 3}{3} + 1 \right)$

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Answer 2

A resposta correta é que a área do triângulo ABC é $A_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{3} }{3} +1$.

Triângulo

Figura geométrica plana com três lados cuja soma dos ângulos internos sempre será igual a 180º, independente do tipo de triângulo. Com essa informação em mãos, podemos analisar a figura para obtermos mais informações a respeito de como encontraremos a área do triângulo ABC.

É possível observar que a altura h secciona o triângulo ABC em dois triângulos menores: $\Delta ACH$ e $\Delta BCH$. Como a reta h toca o lado AB do triângulo ABC de forma perpendicular, ela forma dois ângulos retos (90º) no ponto H.

Razões trigonométricas

São as relações entre os lados do triângulo e os seus ângulos internos. Iremos utilizar essas razões para relacionar os ângulos informados na questão com os lados dos triângulos menores, a fim de encontrarmos a área do triângulo ABC.

Assim, utilizando a relação tangente para o ângulo Y=45º, teremos:

$tg45^{\circ}=\frac{Cateto\:\:oposto}{Cateto\:\:adjacente} = \frac{HB}{h}$

Sabendo que $tg45^{\circ} =1$:

$\frac{HB}{h} =1\\ h=HB$

Agora, vamos relacionar o ângulo X = 30º ao triângulo ACH, ficando com:

$tg30^{\circ}=\frac{AH}{h}$

Substituindo o valor de $tg30^{\circ}=\frac{\sqrt{3} }{3}$, teremos:

$\frac{AH}{h} =\frac{\sqrt{3} }{3} \\AH=h.\frac{\sqrt{3} }{3}$

Agora, sabendo que a Área do triângulo pode ser calculada através da fórmula $A_{\Delta ABC}=\frac{b.h}{2}$ e utilizando as informações obtidas através das relações trigonométricas que realizamos anteriormente, vamos obter a seguinte relação:

$A_{\Delta ABC}=\frac{b.h}{2}\\b=AH+HB\\\\A_{\Delta ABC}=\frac{(AH+HB).h}{2}\\A_{\Delta ABC}=\frac{(h.\frac{\sqrt{3} }{3}+h).h}{2}\\A_{\Delta ABC}=\frac{h(\frac{\sqrt{3} }{3}+1).h}{2}\\A_{\Delta ABC}=\frac{h^{2}.(\frac{\sqrt{3} }{3}+1)}{2}\\A_{\Delta ABC}=\frac{(\frac{\sqrt{3} }{3}+1)}{2}.h^{2}\\A_{\Delta ABC}=(\frac{\frac{\sqrt{3} }{3}}{2}+\frac{1}{2}) .h^{2}\\A_{\Delta ABC}=(\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{2}) .h^{2}$

Como nos foi informado pela questão que $h=\sqrt{2}$, substituiremos na equação para obter:

$A_{\Delta ABC}=(\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{2}) .(\sqrt{2})^{2}\\A_{\Delta ABC}=(\frac{\sqrt{3}+3}{6}).2\\A_{\Delta ABC}=\frac{2\sqrt{3}+6}{6}\\A_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{3}}{3}+1$

Portanto, a Área do Triângulo ABC é $A_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{3}}{3}+1$.

Entenda mais sobre Área do Triângulo aqui:

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