Question

4) Resolva a equação logarítmica log2 (3x + 10) – log2 x = log2 5​

Answer 1

Dada a equação logarítmica

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀$\large\begin{array}{l}\\\sf log\:\!_2\,\big(3x+10\big)-log\:\!_2\,(x)=log\:\!_2\,(5)\\\\\end{array}$    

, primeiro pela C.E (Condição de Existência) dos logaritmos, é sabido que o logaritmando deve ser positivo [logₐ (b) ⇒ b > 0].

$\begin{array}{c}\\\begin{cases}\sf3x+10 > 0~\Leftrightarrow~x > -\dfrac{10}{3}\\\sf x > 0\quad\quad\quad\Leftrightarrow~x > 0\end{cases}\sf\Leftrightarrow~~x > 0\\\\\end{array}$

→ Portanto, x deve ser estritamente positivo nesta equação.

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Prosseguindo, agora temos que dar um jeito de deixar ambos os membros em logaritmos de mesma base. Então vamos fazer processo inverso da propriedade logaritmo do quociente:

• Uma subtração de logaritmos (de mesma base) se torna um logaritmo do quociente dos logaritmandos (permanecendo a base). Portanto obtemos

 $\begin{array}{l}\\\sf \quad\quad\quad\ \ log\:\!_2\,\big(3x+10\big)-log\:\!_2\,(x)=log\:\!_2\,(5)\\\\\sf\iff~~~log\:\!_2\,\bigg(\dfrac{3x+10}{x}\bigg)=log\:\!_2\,(5)\\\\\end{array}$

, agora como temos os dois membros, ambos com o logaritmo de mesma base, podemos igualar os logaritmandos:

$\begin{array}{l}\\\sf\quad\quad\quad\ \ \dfrac{3x+10}{x}=5\\\\\sf\iff~~~\dfrac{3x+10}{x}\cdot x=5\cdot x\\\\\sf\iff~~~3x+10=5x\\\\\sf\iff~~~3x+10-10=5x-10\\\\\sf\iff~~~3x=5x-10\\\\\sf\iff~~~3x-5x=5x-10-5x\\\\\sf\iff~~~\!\!-2x=-10\\\\\sf\iff~~~\!\!\big(\!\!-2x=-10\big)\cdot(\!-1)\\\\\sf\iff~~~2x=10\\\\\sf\iff~~~\dfrac{2x}{2}=\dfrac{10}{2}\\\\ ~\:\therefore~~~~~~\!\boldsymbol{\boxed{\sf x=5}}\\\\\end{array}$

Assim, se x = 5 vemos que obedece a C.E. de x ser positivo.

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Conjunto solução da equação:

$\large\boxed{\boxed{\boxed{\boldsymbol{\begin{array}{l}\\\sf \quad\! S=\Big\{\:5\:\Big\}\quad\!\\\\\end{array}}}}}$

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