Question

\int _0^1\:\frac{e^x\:+\:2\:}{e^x\:+2x}\:dx

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int \limits_0^1\:\frac{e^x\:+\:2\:}{e^x\:+2x}\:dx$

Para resolver essa integral, vamos usar o método da substituição, já que temos a função e a derivada dela ao mesmo tempo dentro da integral. A função "u" será a do denominador, então vamos iniciar derivando-a:

$u = e {}^{x} + 2x \to \frac{du}{dx} = e {}^{x} + 2 \to du = e {}^{x} + 2 \: dx$

Substituindo as decorrências de u:

$\int \limits_0^1\:\frac{ \underbrace{e^x\:+\:2\:} _{du} }{ \underbrace{e^x\:+2x} _{u}}\: \to \int \limits_0^1 \frac{du}{u} \to \ln( |u| ) \bigg | _0^1\\ \\ \ln( | e {}^{x} + 2x) | )\bigg | _0^1$

Aplicando o Teorema fundamental do cálculo:

$\ln( | e {}^{1} + 2 .1| ) - \ln( | e {}^{0} + 2 .0| ) \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{\ln( |e + 2| ) }}}$

Espero ter ajudado