Question

(FAG) Simplificando a expressão: $\frac{2x}{x+1}+\frac{x-1}{x}-\frac{2x^{2}-1 }{x^{2} +x}$, com $x\neq 0$ e $x\neq -1$obtemos:


a) x/(x=1 )


Qual o cálculo para chegar a essa resultado?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá,

Primeiro de tudo, por se tratar de uma soma de frações, temos que identificar qual o MMC entre os denominadores, no caso são:

$x+1,\\ x, \\x^2+x$

Perceba que $x^2+x = (x+1)x$ , logo o mínimo múltiplo comum entre os 3 polinômios será o próprio $x^2+x$, que vamos sempre usar como $x(x+1)$ para facilitar nossas contas.

Na primeira fração:

$\dfrac{2x}{x+1} . \dfrac{x}{x}$

Multiplicamos por x para chegarmos o denominador no MMC $x^2+x$

Na segunda fração:

$\dfrac{x-1}{x}.\dfrac{x+1}{x+1}$

Multiplicamos por x+1 para chegarmos o denominador no MMC $x^2+x$

Na terceira fração não precisamos multiplicar por nada, pois o denominador já é o MMC.

Assim, temos:

$\dfrac{2x\times x}{x^2+x}+\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^2+x}+\dfrac{2x^2-1}{x^2+x}$

Por ter o mesmo denominador, precisamos apenas somar os numeradores:

$\dfrac{2x^2+(x-1)(x+1)-2x^2+1}{x^2+x}= \dfrac{x^2-1+1}{x^2+x}=\dfrac{x^2}{x^2+x}=\dfrac{x^2}{x(x+1)}=\dfrac{x}{x+1}$

Como queríamos provar.

Onde usamos a seguinte propriedade da primeira para a segunda fração:

$(x-1)(x+1)=x^2-1$ (Multiplicação da soma pela diferença)

Answer 2

Resposta:

A demonstração é feita a seguir.

Explicação passo-a-passo:

$\dfrac{2x}{x+1}+\dfrac{x-1}{x}-\dfrac{2x^2-1}{x^2+x}\\\\\\\dfrac{2x}{x+1}+\dfrac{x-1}{x}-\dfrac{2x^2-1}{x(x+1)}$

$m.m.c\;de\;x+1,\;x\;e\;x(x+1)=\begin{array}{ccc|c}x&x+1&x(x+1)&x\\1&x+1&x+1&x+1\\1&1&1\end{array}\\\\\\m.m.c\;de\;x+1,\;x\;e\;x(x+1)=x(x+1)$

$\dfrac{x\;.\;2x+(x+1)(x-1)-(2x^2-1)}{x(x+1)}\\\\\\\dfrac{2x^2+x^2-x+x-1^2-2x^2+1}{x(x+1)}\\\\\\\dfrac{2x^2+x^2-2x^2-x+x-1+1}{x(x+1)}\\\\\\\dfrac{x^2}{x(x+1)}\\\\\\\boxed{\dfrac{x}{x+1}}$