Question

Um bloco B com 28,3 kg de massa encontra-se sobre uma superfície horizontal e lisa. Um bloco A, com massa igual a 11,4 kg, encontra-se sobre o bloco B como ilustrado na figura. As superfícies de contato entre os blocos são ásperas com um coeficiente de atrito estático igual a 0,546. Ao bloco B é aplicada uma força horizontal de intensidade variável F = 913x , onde x é o deslocamento do bloco, em metros (F é dada em Newtons). Calcule o trabalho realizado pela força F entre o início do movimento e o instante em que o bloco A começa a escorregar sobre o bloco B. Use g = 9.81 m/s2 para a aceleração da gravidade e expresse sua resposta em Joules com três algarismos significativos.

Answer 1

Na imagem anexada temos o diagrama de corpo livre para ambos os blocos.

Vamos considerar um caso limite onde a força que puxa bloco B provoca uma aceleração que é o limite suportado pelo atrito que impede que o bloco A deslize sobre o bloco B.

Qualquer força maior que essa fará o bloco A deslizar para a esquerda.

Nós estamos no referencial inercial do chão, onde o sistema se move para a direita.

Nessa situação, sobre o bloco A agem a força peso do próprio bloco $\vec P_A$, a força normal causada pelo contato com o bloco B, $\vec N_A$ e a força de atrito  $\vec F_{at}$.

Perceba que a força de atrito é na direção do movimento do sistema. Por quê?

Imagine que não haja atrito. Assim que a força é aplicada sobre o bloco B, o bloco A (pela lei da inércia) tende a permanecer em repouso, deslizando então na direção contrária ao movimento.

Mas como estamos considerando o caso onde o bloco não desliza, a força de atrito deve ser a responsável pelo impedimento, e como ela se opõe ao deslizamento, ela aponta na direção do movimento do sistema.

Como não há movimento na direção vertical, é necessário que a força peso tenha módulo igual à força normal.

Podemos então encontrar a aceleração máxima possível do sistema para que o bloco A não deslize.

A força de atrito estático possui um limite. Esse limite é justamente dado pela força normal. Essa força de atrito implica uma aceleração limite. Se o sistema acelera mais rápido, a força de atrito não é suficiente e o bloco desliza.

O módulo da força de atrito é:

$\displaystyle{\vert \vec F_{at}\vert= \mu_e \vert \vec N\vert}$

$\displaystyle{\vert \vec F_{at}\vert= \mu_e gM_A}$

$\displaystyle{\vert \vec F_{at}\vert= 0.546\cdot 9.81\cdot 11.4}$

$\displaystyle{\vert \vec F_{at}\vert=61.061364 \text{ N}}$

A aceleração máxima então deverá ser de:

$\displaystyle{ M_A \cdot \vert \vec a\vert =\vert \vec F_{at}\vert}$

$\displaystyle{ 11.4 \cdot \vert \vec a\vert =61.061364}$

$\displaystyle{ \vert \vec a\vert =5.35626\text{ ms}^{-2}}$

Essa é a aceleração máxima possível para o sistema.

Vamos agora achar o valor máximo para a força que age sobre o bloco B.

No bloco B agem a força peso do sistema $\vec P$, a reação normal $\vec N$, a força de atrito entre os blocos $\vec F_{at}$ e também a força de contato que o bloco A aplica no bloco B  $M_Ag$.

Como não há movimento vertical, a reação normal deve ter módulo igual à força peso do sistema. Note que a força de contato que o bloco A plica no bloco B é cancelada pela força que o bloco B aplica sobre o bloco A (a reação normal $\vec N_A$ que utilizamos anteriormente).

A força de atrito age na direção oposta ao movimento. Isso porque um bloco desliza sobre o outro. Como a tendência do bloco A é deslizar para a esquerda, no bloco B a força de atrito deve ser na direção do deslize, se opondo ao movimento do bloco B. Ela tem o mesmo módulo que a foça já calculada antes.

Com isso, usando a segunda lei de Newton, podemos achar o valor máximo para a força $\vec F$. A aceleração do bloco B deve ser a mesma que a já calculada para o bloco A, já que nessa situação ele não desliza.

$\displaystyle{M_B \cdot \vert \vec a\vert =\vert \vec F\vert - \vert \vec F_{at}\vert }$

$\displaystyle{28.3 \cdot5.35626=\vert \vec F\vert -61.061364 }$

$\displaystyle{\vert \vec F\vert =151,582158+61.061364 }$

$\displaystyle{\vert \vec F\vert =212,643522\text{ N} }$

Essa é a força máxima que pode agir sobre o bloco B na condição que o bloco A não deslize.

A força que age sobre o bloco B é de intensidade variável, e aumenta conforme o sistema se move.

Assim que a força ficar maior que a força calculada, o bloco A começará a deslizar.

Para calcular o trabalho, primeiro precisamos saber quantos metros o bloco B se move até que a força atinja a intensidade limite.

A força é:

$\displaystyle{F(x)=913x }$

Precisamos achar um valor de $x$ tal que:

$\displaystyle{913 x = 212,643522}$

$\displaystyle{x =0.232906376\text{ m}}$

A partir dai o trabalho realizado por essa força será de:

$\displaystyle{W = \int _{x_1} ^{x_2}F(x) dx }$

$\displaystyle{W = \int _{0} ^{0.232906376}(913x)dx }$

$\displaystyle{W =\left[456.5x^2 \right]_{0}^{0.23290676}}$

$\displaystyle{W =24.76309761\text{ J}}$

Usando 3 algarismos significativo, o trabalho realizado pela força entre o início do movimento e o instante que o bloco A começa a escorregar é de 24,763 Joules.