Matéria: Matemática
Autor: fabi04187
Perguntado 5 anos atrás

Dados os pontos A:(2,3) e B:(5,4), qual é a equação da reta (aX + bY = c), que passa por esses 2 pontos? (pode resolver por matriz)

a) 2X + 3Y = -7

b) -X - 2Y = 5

c) 3X - Y = -5

d) -X + 3Y = 7

Respostas

respondido por: Nasgovaskov

É sabido que uma equação da reta em sua forma geral se situa no formato ax + by + c = 0. Queremos encontrar a equação que passa por dois pontos A e B, e uma das formas (recomendada pelo próprio exercício) é calcular o determinante de uma matriz 3x3:

$\Large\begin{array}{l}\\\quad\quad\quad\ \ \ \! \left[\begin{array}{ccc}\sf x&\sf y&\sf 1\\\sf x_a&\sf y_a&\sf1\\\sf x_b&\sf y_a&\sf1\end{array}\right]\sf=0\\\\\end{array}$

Perceba que na primeira linha temos um ponto genérico (x , y), e nas próximas linhas temos dois pontos A(xa , ya) e B(xb , yb);
Foi colocado uma coluna de números um para que seja uma matriz quadrada 3x3;
E por fim a matriz foi igualada a zero.

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Prosseguindo para a solução da questão, foi nos dado os pontos A(2 , 3) e B(5 , 4), assim temos que

$\begin{array}{l}\quad\quad\quad\ \ \ \! \left[\begin{array}{ccc}\sf x&\sf y&\sf 1\\\sf x_a&\sf y_a&\sf1\\\sf x_b&\sf y_a&\sf1\end{array}\right]\sf=0\\\\\sf\iff~~~\left[\begin{array}{ccc}\sf x&\sf y&\sf 1\\\sf2&\sf3&\sf1\\\sf5&\sf4&\sf1\end{array}\right]\sf=0\end{array}$

, agora vamos calcular o seu determinante. Pela Regra de Sarrus repetimos as duas colunas iniciais, fazemos a soma do produto das diagonais (principais) e subtraímos da soma do produto de outras diagonais (secundárias):

$\begin{array}{l}\\\quad\quad\quad\ \ \ \! \left|\begin{array}{ccc}\sf x&\sf y&\sf 1\\\sf2&\sf3&\sf1\\\sf5&\sf4&\sf1\end{array}\right|\begin{matrix}\sf~x&\sf y\\\sf~2&\sf3\\\sf~5&\sf4\end{matrix}\sf~=\:0\\\\\sf\iff~~~x.3.1+y.1.5+1.2.4-\big(1.3.5+x.1.4+y.2.1\big)=0\\\\\sf\iff~~~3\:\!x+5\:\!y+8-\big(15+4\:\!x+2\:\!y\big)=0\\\\\sf\iff~~~3\:\!x+5\:\!y+8-15-4\:\!x-2\:\!y=0\\\\~~\!\therefore~~~~~\boldsymbol{\boxed{\sf\!-\:x+3\:\!y-7=0}}\\\\\end{array}$

Essa é a eq. geral da reta que passa pelos pontos A e B. Mas observe que na questão a equação está no formato ax + by = c, então basta passar o coeficiente c para o outro lado:

$\begin{array}{l}\\\quad\quad\quad\ \ \ \!\!\sf -\:x+3\:\!y-7=0\\\\~~~\!\therefore~~~~~\boldsymbol{\boxed{\sf\!-\:x+3\:\!y=7}}\\\\\end{array}$