Question

Determine o resultado da expressão log2 (og4 256)



Me ajuda urgente

Answer 1

O resultado da expressão logarítmica apresentada é 2.

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Dado a expressão proposta

                                            $\quad\quad\quad\ \ \Large\begin{array}{l}\sf log\:\!_2\,\big(log\:\!_4\,\big(256\big)\big)\end{array}$

, precisamos determinar o seu valor, e para isso vamos usar de algumas propriedades dos logaritmos, veja abaixo:

                                 $\ \large\boxed{\begin{array}{l}\sf1^a)~~~ log\:\!_{a^c}\,\big(b\big)\,\Leftrightarrow\,\dfrac{~1~}{c}\cdot log\:\!_a\,\big(b\big)\\\\\sf2^a)~~~ log\:\!_a\,\big(b^c\big)\,\Leftrightarrow\,c\cdot log\:\!_a\,\big(b\big)\\\\\sf3^a)~~~ log\:\!_{a}\,\big(a\big)\ \,\Leftrightarrow\,1\end{array}}$

• 1ª) o expoente da base passa sendo o seu inverso multiplicando todo o logaritmo;
• 2ª) o expoente do logaritmando passa multiplicando todo o logaritmo;
• 3ª) quando a base e o logaritmando são iguais, torna sendo um;

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Prosseguindo, vamos desenvolver a expressão com as propriedades apresentadas:

$\\\begin{array}{l}\quad\quad\quad\ \ \sf log\:\!_2\,\big(log\:\!_4\,\big(256\big)\big)\\\\\sf\iff~~~log\:\!_2\,\big(log\:\!_{2^2}\,\big(2^8\big)\big)\\\\\sf\iff~~~log\:\!_2\,\bigg(\dfrac{~1~}{2}\cdot 8\cdot log\:\!_2\,\big(2\big)\bigg)\\\\\sf\iff~~~log\:\!_2\,\bigg(\dfrac{~8~}{2}\cdot1\bigg)\\\\\sf\iff~~~log\:\!_2\,\big(4\cdot1\big)\\\\\sf\iff~~~log\:\!_2\,\big(4\big)\\\\\sf\iff~~~log\:\!_2\,\big(2^{\:\!2}\big)\\\\\sf\iff~~~2\cdot log\:\!_2\,\big(2\big)\\\\\sf\iff~~~2\cdot1\\\\\sf\iff~~~2\end{array}$

E é dessa forma que chegamos ao resultado final.

$\large\boldsymbol{\boxed{\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\\sf \therefore ~log\:\!_2\,\big(log\:\!_4\,\big(256\big)\big)=2\\\\\end{array}}}}}$

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