Question

Calcule x ∈ N na equação:
x! + (x+ 1)! + (x−1)! / x! + (x−1)! = 7

Answer 1

Olá, camarada.
Por favor, visualize os cálculos com extrema atenção. Foram feitas alterações nos dois lados da igualdade, simultaneamente. Algumas operações básicas foram ocultadas.

$\cfrac{x! + (x+1)! + (x-1)!}{x! + (x-1)!} = 7\\\\x! + (x+1)! + (x-1)! = 7(x! + (x-1)!)\\x! + (x+1)! + (x-1)! = 7x! + 7(x-1)!\\\\\cfrac{x! + (x+1)! + (x-1)!}{(x-1)!} = \cfrac{7x! + 7(x-1)!}{(x-1)!} \\\\\cfrac{x(x-1)! + (x+1)(x)(x-1)! + (x-1)!}{(x-1)!} = \cfrac{7x(x-1)!}{(x-1)!} + 7\\\\x + x(x+1) + 1 =7x + 7\\x + x^2 + x + 1 =7x + 7\\x^2 + 2x + 1 =7x + 7\\x^2 - 5x - 6 = 0$

$\cfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)} }{2 \cdot 1} \\\\= \cfrac{5 \pm \sqrt{25 + 24} }{2}\\\\= \cfrac{5 \pm 7 }{2}\\\\x_1 = \cfrac{5 + 7 }{2} = \cfrac{12 }{2} = 6\\x_2 = \cfrac{5 - 7 }{2} = \cfrac{-2 }{2} = -1$

Solução natural: 6

Comprovando:

$\cfrac{6! + (6+1)! + (6-1)!}{6! + (6-1)!} = 7\\\\\cfrac{720 + 5040+ 120}{720 + 120} = 7\\\\\cfrac{5880}{840} = 7\\\\7 = 7$

Comprovado.

Só para evitar confusões, repito, x = 6 (o resultado 7 na última equação prova a igualdade com x = 6).

Outra solução (não difere muito da original, somente começa dividindo por (x-1)!):

$\cfrac{x! + (x+1)! + (x-1)!}{x! + (x-1)!} = 7\\\\\\\cfrac{\cfrac{x! + (x+1)! + (x-1)!}{x! + (x-1)!}}{(x-1)!} = \cfrac{7}{(x-1)!} \\\\\\\cfrac{x! + (x+1)! + (x-1)!}{x! + (x-1)!} \cdot \cfrac{1}{(x-1)!} = \cfrac{7}{(x-1)!}\\\\\\\cfrac{x! + (x+1)! + (x-1)!}{(x-1)!(x! + (x-1)!)} = \cfrac{7}{(x-1)!}\\\\\\\cfrac{x(x-1)! + (x+1)(x)(x-1)! + (x-1)!}{(x-1)!(x! + (x-1)!)} = \cfrac{7}{(x-1)!}\\\\\\\cfrac{x + (x+1)(x) + 1}{x! + (x-1)!} = \cfrac{7}{(x-1)!}$

$x + x^2 + x + 1 = \cfrac{7(x! + (x-1)!)}{(x-1)!} \\\\\\x^2 + 2x + 1 = \cfrac{7x! + 7(x-1)!}{(x-1)!} \\\\\\x^2 + 2x + 1 = \cfrac{7x(x-1)!}{(x-1)!} + 7\\\\\\x^2 + 2x + 1 = 7x + 7\\\\\\x^2 - 5x - 6 = 0$

Mesma equação de segundo grau de acima.