Question

Use o teorema do valor médio se possível.
F(x)- 2xelevado2 -3x +1 0,2

F(x)- xeelevado3 +x -1. 0,2

Answer 1

$\boxed{\boxed{f'(C)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \, , C\in [a,b]}}}$

resolvendo
$f(x)=2x^2 -3x +1 \, [0,2]$

a função polinomial é continua e diferenciável para qualquer valor de x
então pode se aplicar o teorema do valor medio

$\bmatrix f(0) = 1\\f(2)=3\\f'(x)= 4x-3\end$

temos
$f'(C)= \frac{3-1}{2-0} \\\\4C-3 =1\\\\\boxed{C=1}$
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$f(x)=x^3+x-1\\\\f(0)=-1\\\\f(2)=9\\\\f'(x)=3x^2+1$

temos
$3C^2+1 = \frac{9-(-1)}{2-0} \\\\3C^2=5\\\\\boxed{C=\pm \sqrt{ \frac{5}{3} } }$

como C tem que pertencer ao intervalo [0,2]
$\boxed{C= \sqrt{ \frac{5}{3} } }$