Question

Observe a figura. Nela, os pontos B, C, D e E pertencem à circunferência. Se BDA = 30° e ECD = 60° então, a medida do ângulo DAE, em graus, é:

a) 25°
b) 30°
c) 40°
d) 45°
e) 50​

Answer 1

A medida do ângulo DAE é 30°.

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Utilize as propriedades:

1. Em um triângulo qualquer a soma das medidas de seus ângulos internos é sempre 180°.
2. Ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
3. Em todo quadrilátero convexo a soma das medidas de seus ângulos internos é sempre 360°.
4. Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas resulta 180°.
5. Dois ângulos inscritos numa circunferência relativos ao mesmo arco de circunferência são congruentes.

• Considere as notações:

m(∠BDA): medida do ângulo BDA.

nch: notação cíclica horária.

Veja a figura anexa.

• Se m(∠BDA) = 30°, então m(∠BDC) = 30°. Observe que ∠BDC é ângulo inscrito na circunferência relativo ao arco BC (nch) e ∠BEC é ângulo inscrito na circunferência relativo ao mesmo arco BC , portanto m(∠BEC) = 30°.

• Se m(∠ECD) = 60°, então m(∠EBD) = 60° pois são ângulos inscritos na circunferência relativos ao mesmo arco DE (nch).

• Considere X o ponto de intersecção das cordas BD e CE e x a medida do ângulo CXD.

• No triângulo CDX aplique a propriedade ①.

x + 30 + 60 = 180 ⟹ Subtraia 90 de ambos os membros.

x = 90°

• Observe que, pela propriedade ②, todos os ângulos no vértice X são retos.

• Observe que os ângulos ECD (60°) e XCA são suplementares, portanto:

m(∠XCA) + 60 = 180 ⟹ Subtraia 60 de ambos os membros.

m(∠XCA) = 120

• Aplicando um processo idêntico no triângulo EXB obtém-se a mesma medida para o ângulo XBA.

• Considere "a" a medida do ângulo DAE e aplique a propriedade ③ no quadrilátero ABXC.

a + 120 + 90 + 120 = 360

a = 360 − (120 + 90 + 120)

a = 30°

A medida do ângulo DAE é 30°.

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