Question

Desejo muito que apareça um anjo bondoso e paciente pra resolver essa questão pra mim. Desde já obrigada.

3 vasos de forma cúbica, A, B, C tem suas capacidades em litros, respectivamente proporcionais 1, 8 e 27. Os três vasos contém água e as quantidades em litros são proporcionais, respectivamente aos números 1, 2, e 3. Tirando-se agua de A para B, e depois de B para C, faz-se com que o nível da água nos três vasos seja o mesmo. A seguir tirando-se 6 litros de água de C para coloca-lo em B, e tirando-se 6 litros de água de B para coloca-lo em A, verificando-se, então, que B contém duas vezes mais água que A, e que passa a haver em A menos 2 litros que antes da primeira operação. Achar as quantidade de água contidas inicialmente nos 3 vasos.
Resposta 14, 28 e 42 litros

Answer 1

Resposta: as quantidades de água, em litros, contidas inicialmente nos três vasos são 14, 28 e 42.

Sabemos, de antemão, que as capacidades (volumes internos), em litros, dos três vasos cúbicos A, B e C são respectivamente proporcionais aos cubos perfeitos 1, 8 e 27. Designando-as por C₁ , C₂ e C₃ , respectivamente, encontramos:

$\large\sf \dfrac{C_1}{1}=\dfrac{C_2}{8}=\dfrac{C_3}{27}=k^3~\:\!\therefore~\begin{cases}\sf C_1=k^3\\\\ \sf C_2=8k^3\\\\ \sf C_3=27k^3\end{cases}$

, sendo k uma constante real positiva. Como vimos, C₁ , C₂ e C₃ são as capacidades, medidas em litros (ou decímetros cúbicos, uma vez que 1 decímetro cúbico de volume interno corresponde à capacidade de 1 litro), dos vasos A, B e C, respectivamente; portanto, mediante à fórmula utilizada para se obter o volume interno — ou simplesmente volume, considerando desprezíveis as espessuras das faces componentes de cada vaso — de um recipiente cúbico, as arestas dos três vasos medirão, em decímetros:

$\large\begin{cases}\sf Aresta\ do\ vaso\ \boldsymbol{\sf A}=\sqrt[\sf 3]{\sf k^3}= k\\\\ \sf Aresta\ do\ vaso\ \boldsymbol{\sf B}=\sqrt[\sf 3]{\sf 8k^3}=2k\\\\ \sf Aresta\ do\ vaso\ \boldsymbol{\sf C}=\sqrt[\sf 3]{\sf 27k^3}=3k\end{cases}$

O enunciado também informa que A, B e C contêm água, e as respectivas quantidades iniciais Q₁ , Q₂ , Q₃ , em litros, são proporcionais aos números 1, 2 e 3. Mais precisamente,

$\large\sf \dfrac{Q_1}{1}=\dfrac{Q_2}{2}=\dfrac{Q_3}{3}=k'~\:\!\therefore~\begin{cases}\sf Q_1=k'\\\\ \sf Q_2=2k'\\\\ \sf Q_3=3k'\end{cases}$

, sendo k' uma constante real positiva. Vimos também que ao retirarmos determinada quantidade d'água de A e colocarmos em B, e, em seguida, retirarmos determinada quantidade de B e pusermos em C, o nível de água nos três vasos será o mesmo. Dessa forma, chamando de x dm (decímetros) a "altura" de água comum aos três recipientes, temos que as respectivas quantidades de água, em litros, logo após a primeira operação, são:

$\large\begin{cases}\sf q_1=(k)\cdot (k)\cdot (x)= k^2x\\\\ \sf q_2=(2k)\cdot(2k)\cdot (x)= 4k^2x\\\\ \sf \sf q_3=(3k)\cdot (3k)\cdot (x)= 9k^2x\end{cases}$

Posteriormente, na segunda operação, retirando 6 litros de C para colocar em B, e, logo após, retirando 6 litros de B para pôr em A, concluímos que B contém duas vezes mais água que A, e que passa a haver em A 2 litros a menos em comparação com o total Q₁ (quantidade inicial de água) antes da primeira operação. Ainda na segunda operação, note que B recebe 6 litros e, seguidamente, cede 6 litros para A, ou seja, não houve alteração na quantidade de água q₂ contida em B após a segunda operação. Com base nas informações dadas anteriormente, surgem as duas equações:

$\large\begin{array}{l}\bullet\sf~~~q_2=2\cdot (q_1+6)\qquad \boldsymbol{\sf (\:I\:)}\\\\ \bullet\sf~~~Q_1-2=q_1+6\qquad \boldsymbol{\sf (\:II\:)}\end{array}$

Substituindo q₁ e q₂ por k²x e 4k²x, respectivamente, e desenvolvendo a eq. ( I ), ficamos com:

$\!\large\begin{array}{l}\sf 4k^2x=2\cdot(k^2x+6)\\\\ \sf 4k^2x=2\cdot k^2x+2\cdot 6\\\\ \sf 4k^2x=2k^2x+12\\\\ \sf 4k^2x-2k^2x=12\\\\ \sf 2k^2x=12\\\\ \sf k^2x=\dfrac{12}{2}\\\\ \sf k^2x=6\end{array}$

Em seguida, substituindo q₁ = k²x por 6 e Q₁ por k' na eq. ( II ), adquiriremos para k' o seguinte valor (em litros):

$\large\begin{array}{l}\sf k'-2=6+6\\\\ \sf k'=12+2\\\\ \sf k'=14\end{array}$

Por conseguinte, as quantidades Q₁ , Q₂ e Q₃ serão:

$\large\begin{cases}\sf Q_1=k'~~\therefore~~\boxed{\sf Q_1=14\ litros}\\\\ \sf Q_2=2k'~~\therefore~~\boxed{\sf Q_2=28\ litros}\\\\ \sf Q_3=3k'~~\therefore~~\boxed{\sf Q_3=42\ litros}\end{cases}$