Question

Vamos cálcula que se de fato an=(n+1)•3n
serve para calcular o número de palito que eu uso em cada triângulo de sequência Copie a tabela

Answer 1

Na verdade, para a sequência abaixo o número de palitos segue uma progressão aritmética que é expressa por $an = \frac{3n(n+1)}{2}$.

Os triângulos da sequência aumentam seguindo a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética com razão igual a 1: $\frac{n(n+1)}{2}$, como podemos ver abaixo:

Posição 1 = 1 triângulo

Posição 2 = 1 + 2 = 3 triângulos

Posição 3 = 1 + 2 + 3 = 6 triângulos

Posição 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 triângulos

Posição 5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 triângulos

Como cada triângulo possui 3 palitos, basta multiplicar essa expressão por 3 e obter $an = \frac{3n(n+1)}{2}$. Para testar isso podemos aplicar a expressão em qualquer uma das posições e veremos que corresponde a exata quantidade de palitos:

Posição 4:

$an = \frac{3n(n+1)}{2}\\\\an = \frac{3*4(4+1)}{2}\\\\an = \frac{12(5)}{2}\\\\an = \frac{60}{2}\\\\an = 30$

Se olharmos a figura abaixo veremos que na posição 4 existem de fato 30 palitos, provando que a expressão funciona.

obs: Há um erro de digitação na pergunta pois a fórmula correta seria $an = \frac{3n(n+1)}{2}$, caso contrário $an = (n+1)*3n$ não serve para calcular o número de palitos corretamente, é necessário dividir por 2.