Question

O cálculo de área de regiões planas é possível por meio do cálculo integral definido. Entre as regiões, podemos encontrar o valor exato da área de regiões limitadas por duas curvas, como, por exemplo, a região limitada simultaneamente pelas curvas e . Nesse sentido, encontre a área proposta, usando como suporte o gráfico da figura a seguir, e assinale a alternativa correta

Answer 1

O cálculo de área de regiões planas é possível por meio do cálculo integral definido. Entre as regiões, podemos encontrar o valor exato da área de regiões limitadas por duas curvas, como, por exemplo, a região limitada simultaneamente pelas curvas  e  . Nesse sentido, encontre a área proposta, usando como suporte o gráfico da figura a seguir, e assinale a alternativa correta.

Resposta:

37/12 u.a

Answer 2

A área proposta é de 37/12 u.a. Quinta alternativa

Descobrindo os intervalos

Para calcularmos a região compreendida entre duas funções, precisamos primeiramente definir os intervalos em que essas regiões se encontram. Olhando o gráfico, vemos duas regiões. uma para x > 0 e outra para x < 0.

Podemos descobrir esses pontos de intersecção igualando as duas funções:

x³ = x² + 2x

x³ - x² - 2x = 0

x(x² - x - 2) = 0

O produto de dois fatores é igual a zero quando um dos fatores é igual a zero. Assim,

x = 0 ou x² - x - 2 = 0

Equação do segundo grau

Resolvemos a equação do segundo grau com a fórmula de Bhaskara ou fórmula resolvente:

Para ax² + bx + c = 0, temos:

$\Delta = b^2 - 4\cdot a \cdot c\\\\x = \frac {-b \pm \sqrt \Delta}{2\cdot a}$

em x² - x - 2 = 0 temos a = 1, b = -1 e c = -2

$\Delta = (-1)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-2)\\\Delta = 1 +8 = 9 \\\\x = \frac {-(-1)\pm \sqrt 9}{2\cdot 1}\\x = \frac {1\pm 3}{2}\\\\x_1 = \frac{1+3}{2}= 2\\x_2 = \frac{1-3}{2}= -1$

Assim, os intervalos são [-1, 0] e [0, 2]

Integral indefinida

Como vamos ter que calcular as integrais definidas em intervalos diferentes, é prático primeiro calcularmos a integral indefinida de f(x)-g(x), para achar a região entre elas.

f(x) - g(x) = x³ - x² + 2x

$\int\limits (x^3 - x^2 - 2x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2 + c= \frac{3x^4-4x^3 - 12x^2}{12} + c$

Integrais definidas

Agora, calcularemos as integrais definidas, apenas definindo os intervalos:

$\int\limits_{-1}^0 (x^3 - x^2 - 2x) \, dx = 0 - \frac{3(-1)^4-4(-1)^3 - 12(-1)^2}{12} = \frac{-3-4+12}{12} = \frac{5}{12}$

$\int\limits_{0}^2 (x^3 - x^2 - 2x) \, dx = \frac{3\cdot2^4-4\cdot2^3 - 12\cdot2^2}{12}-0 = \frac{48-32-48}{12} = -\frac{32}{12}$

Como não temos áreas negativas, agora somamos os dois valores:

$A = \frac{5}{12}+\frac{32}{12} = \frac{37}{12}$

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