Question

•Demonstre que a igualdade é verdadeira:
$- \cotg(x) + \csc(x) = \tg \left( \frac{x}{2} \right)$
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Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos demonstrar a validade da seguinte igualdade:

$-\cotg(x)+\csc(x)=\tg\left(\dfrac{x}{2}\right)$.

Lembre-se que esta igualdade está definida para $x\neq\pi+2k\pi,~k\in\mathbb{Z}$.

Primeiro, fazemos $\cotg(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}$ e $\csc(x)=\dfrac{1}{\sin(x)}$

$-\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}+\dfrac{1}{\sin(x)}=\tg\left(\dfrac{x}{2}\right)$

Some as frações

$\dfrac{1-\cos(x)}{\sin(x)}=\tg\left(\dfrac{x}{2}\right)$

Multiplique o lado esquerdo da igualdade pela fração $\dfrac{1+\cos(x)}{1+\cos(x)}$

$\dfrac{1-\cos(x)}{\sin(x)}\cdot\dfrac{1+\cos(x)}{1+\cos(x)}=\tg\left(\dfrac{x}{2}\right)$

Aplique a propriedade do produto da soma pela diferença: $(a-b)\cdot(a+b)=a^2-b^2$

$\dfrac{1-\cos^2(x)}{\sin(x)\cdot(1+\cos(x))}=\tg\left(\dfrac{x}{2}\right)$

Utilizamos a identidade fundamental da trigonometria: $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$, de modo que $1-\cos^2(x)=\sin^2(x)$

$\dfrac{\sin^2(x)}{\sin(x)\cdot(1+\cos(x))}=\tg\left(\dfrac{x}{2}\right)$

Simplifique a fração por um fator $\sin(x)$

$\dfrac{\sin(x)}{1+\cos(x)}=\tg\left(\dfrac{x}{2}\right)$

Para demonstrarmos o lado direito, usamos a identidade: $\tg(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

$\tg\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)}{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)}$

Então, utilize a identidade $\cos(2\alpha)=2\cos^2(\alpha)-1$, em que $\alpha=\dfrac{x}{2}$ e isole $\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$:

$\cos\left(2\cdot\dfrac{x}{2}\right)=2\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)-1\\\\\\ 2\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)=\cos(x)+1\\\\\\ \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\cos(x)+1}{2}\\\\\\ \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1+\cos(x)}{2}}$

Usando $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$, temos:

$1-\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{1+\cos(x)}{2}\\\\\\ \sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right)=1-\dfrac{1+\cos(x)}{2}\\\\\\ \sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{1-\cos(x)}{2}\\\\\\ \sin\left(\dfrac{x}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1-\cos(x)}{2}}$

Assim, teremos:

$\tg\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1-\cos(x)}{2}}}{\sqrt{\dfrac{1+\cos(x)}{2}}}\\\\\\ \tg\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{1-\cos(x)}}{\sqrt{1+\cos(x)}}$

Racionalize o denominador

$\tg\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{1-\cos(x)}\cdot\sqrt{1+\cos(x)}}{1+\cos(x)}\\\\\\ \tg\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{1-\cos^2(x)}}{1+\cos(x)}\\\\\\ \tg\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{\sin^2(x)}}{1+\cos(x)}\\\\\\ \tg\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)+1}~~\checkmark$

Então, conclui-se que esta igualdade é válida para todo $x$ que satisfaz a restrição encontrada ao início da solução.