Question

O número de parafusos B produzidos por uma casa de fundição varia de acordo com
o modelo dB/dt=250t/√t^2+36
; 0 ≤ t ≤ 40 em que t é medido em horas. Determine o número de parafusos produzido em 8 horas.

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

O número de parafusos $B$ produzidos por uma casa de fundição varia de acordo com o modelo: $\dfrac{dB}{dt}=\dfrac{250t}{\sqrt{t^2+36}},~0\leq t\leq 40$, em que $t$ é medido em horas.

Devemos determinar o número de parafusos produzidos em $8$ horas.

Primeiro, considere que buscamos o número de parafusos produzidos desde o instante $t=0$ ao instante $t=8$.

O número de parafusos produzidos nesse intervalo é numericamente igual a área sob a curva do gráfico da função modelada. Para encontrá-la, resolveremos a integral:

$B=\displaystyle{\int_0^8 \dfrac{dB}{dt}\cdot dt}$

Substitua $\dfrac{dB}{dt}$ com o dado cedido pelo enunciado

$B=\displaystyle{\int_0^8 \dfrac{250t}{\sqrt{t^2+36}}\,dt}$

Faça uma substituição $u=t^2+36$. Diferenciamos ambos os lados da igualdade de modo a encontrarmos o diferencial $dx$.

$(u)'=(t^2+36)'$

Aplique a regra da cadeia: $(u)'=1\cdot u^{1-1}\cdot\dfrac{du}{dt}=\dfrac{du}{dt}$, em que $u=u(t)$

$\dfrac{du}{dt}=(t^2+36)'$

Aplique a regra da soma: $(f(t)+g(t))'=f'(t)+g'(t)$

$\dfrac{du}{dt}=(t^2)'+(36)'$

Aplique a regra da potência: $(t^n)'=n\cdot t^{n-1}$ e lembre-se que a derivada de uma constante é igual a zero

$\dfrac{du}{dt}=2\cdot t^{2-1}+0\\\\\\ \dfrac{du}{dt}=2t$

Multiplique ambos os lados da igualdade pelo diferencial $dt$

$du=2t\cdot dt$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $2t$

$dt=\dfrac{du}{2t}$

Lembre-se que ao realizarmos uma mudança de variáveis por substituição, os limites de integração mudam de acordo com a expressão: quando $x\rightarrow0,~u\rightarrow 36$ e quando $x\rightarrow 8,~u\rightarrow 100$.

Então, substituindo estes dados na integral, teremos:

$B=\displaystyle{\int_{36}^{100}\dfrac{250t}{\sqrt{u}}\cdot \dfrac{du}{2t}}$

Simplifique a fração no integrando por um fator $2t$

$B=\displaystyle{\int_{36}^{100}\dfrac{125}{\sqrt{u}}\,du}$

Aplique a regra da constante: $\displaystyle{\int c\cdot f(t)\,dt=c\cdot\int f(t)\,dt}$

$B=\displaystyle{125\cdot\int_{36}^{100}\dfrac{1}{\sqrt{u}}\,du}$

Reescreva o radical como uma potência de expoente fracionário: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}},~n\neq0$ e a fração como uma potência de expoente negativo: $\dfrac{1}{a^n}=a^{-n}$

$B=\displaystyle{125\cdot\int_{36}^{100}u^{-\frac{1}{2}}\,dt}$

Aplique a regra da potência: $\displaystyle{\int t^n\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}+C}$

$B=125\cdot\dfrac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}~\biggr|_{36}^{100}$

Some os valores no expoente e denominador e calcule a fração de frações

$B=125\cdot \dfrac{u^{\frac{1}{2}}}{\dfrac{1}{2}}~\biggr|_{36}^{100}\\\\\\ B=125\cdot2\sqrt{u}~\biggr|_{36}^{100}$

Multiplique os termos

$B=250\sqrt{u}~\biggr|_{36}^{100}$

Aplique os limites de integração, de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(t)\,dt=F(t)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$

$B=250\cdot(\sqrt{100}-\sqrt{36})$

Calcule os radicais

$B=250\cdot(10-6)$

Some e multiplique os valores

$B=250\cdot4\\\\\\ B=1000$

Este é o número de parafusos produzidos em $8$ horas nesta casa de fundição de acordo com o modelo apresentado.