Question

$tg \beta =cos \beta$ quanto é $sen \beta =?$

Answer 1

$\mathrm{tg\,}\beta=\cos \beta\\ \\ \dfrac{\mathrm{sen\,}\beta}{\cos \beta}=\cos \beta$


Da igualdade acima, tiramos que $\cos \beta \neq 0.$ Então, multiplicando os dois lados por $\cos \beta,$ temos

$\mathrm{sen\,}\beta=\cos^{2}\beta\\ \\ \mathrm{sen\,}\beta=1-\mathrm{sen^{2}\,}\beta\\ \\ \mathrm{sen^{2}\,}\beta+\mathrm{sen\,}\beta-1=0$


Fazendo a substituição,

$y=\mathrm{sen\,}\beta\;\;\;\;(-1<y<1)$


chegamos a

$y^{2}+y-1=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{ \begin{array}{l} a=1\\b=1\\c=-1 \end{array} \right.\\ \\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=1^{2}-4\cdot 1\cdot (-1)\\ \\ \Delta=1+4\\ \\ \Delta=5\\ \\ \\ y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ y=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2\cdot 1}\\ \\ \begin{array}{rcl} y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}&\;\text{ ou }\;&y=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\text{\;\;(n\~{a}o serve, pois }-1<y<1\text{).} \end{array}$


Então, temos

$y=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ \\\boxed{\begin{array}{c} \mathrm{sen\,}\beta=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \end{array}}$