Question

Podem me ajudar, por favor?

*Preciso do cálculo SOMENTE pelo método da DIFERENÇA.
*Com cálculo e justificativa, por favor!
*Marco como melhor resposta e sigo. ​

Answer 1

Resposta:

$a) cotg165 = - 2 - \sqrt{3}$  

$b) sec255=-\sqrt{6} -\sqrt{2}$

$c) cossec15= \sqrt{6} +\sqrt{2}$

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

Calcule, somente pelo método da diferença:

a) cotg 165º

b) sec 255º

c) cossec 15º

Resolução:

a) cotg 165º = ?

cotg 165º = 1 / tg 165º

tg 165º = (sen 165º) / ( cos 165º)

cotg 165º = ( cos 165º) / (sen 165º)

$cotg 165 =-(\frac{\sqrt{6} +\sqrt{2} }{4}): (\frac{\sqrt{6} -\sqrt{2} }{4} )$

$cotg 165 =-(\frac{4*(\sqrt{6}+\sqrt{2}) }{4*\sqrt{6} -\sqrt{2} } )$

$cotg 165 =-(\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2}) *(\sqrt{6} +\sqrt{2}) }{(\sqrt{6} -\sqrt{2} )*(\sqrt{6}-\sqrt{2} ) } )$  

$cotg165=-\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2}) ^{2} }{(\sqrt{6}) ^{2}-(\sqrt{2} )^{2} }$

   

$cotg165=- \frac{6+2*\sqrt{6} *\sqrt{2} +2}{6-2}$

$cotg165=- \frac{8+2*\sqrt{12} }{4}$

Observação  → $\sqrt{12} =\sqrt{2^{2} *3} =\sqrt{2^{2} } *\sqrt{3} =2*\sqrt{3}$

$cotg165=- \frac{8+4*\sqrt{3} }{4}$

$cotg165=- \frac{4*(2+\sqrt{3}) }{4}$

$cotg165 = - 2 - \sqrt{3}$     ←   Resultado final

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Cálculo auxiliar:

sen 165 = sen ( 180 - 15 ) = sen 180 * cos 15 - sen 15 * cos 180

= 0 * cos 15 - sen 15 * ( -1 )

= sen 15 = ?  

$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2} }{4}$

Cálculo de sen 15

sen 15 = sen ( 45 - 30 ) = sen 45 * cos 30 - sen 30 * cos 45

=$\frac{\sqrt{2} }{2} *\frac{\sqrt{3} }{2} -\frac{1}{2} *\frac{\sqrt{2} }{2}$

$=\frac{\sqrt{6} }{4} -\frac{\sqrt{2} }{4}$

$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2} }{4}$

cos 165 = cos ( 180 - 15 ) = cos 180 * cos 15 + sen 180 * sen 15

= -1 * cos 15 + 0 * sen 15

= - cos 15 = ?

$=-\frac{\sqrt{6} +\sqrt{2} }{4}$

Cálculo de cos 15

cos 15 = cos ( 45 - 30 ) = cos 45 * cos 30 + sen 45 * sen 30

$=\frac{\sqrt{2} }{2} *\frac{\sqrt{3} }{2} +\frac{\sqrt{2} }{2} *\frac{1}{2}$

$=\frac{\sqrt{6} }{4} +\frac{\sqrt{2} }{4}$

$=\frac{\sqrt{6} +\sqrt{2} }{4}$

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b) sec 255º = ?

$sec255=\frac{1}{cos255}$

$sec255= -\frac{1}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2} }{4} }$

$sec255=-\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2} }$

$sec255=-\frac{4*(\sqrt{6}+\sqrt{2} ) }{(\sqrt{6}-\sqrt{2})*(\sqrt{6} +\sqrt{2} )} } }$

$sec255=-\frac{4*(\sqrt{6}+\sqrt{2}) }{6-2}$

$sec255=-{(\sqrt{6}+\sqrt{2})$

$sec255=-\sqrt{6} -\sqrt{2}$             ← Resultado final

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Cálculo auxiliar

cos255= cos (270 - 15 ) = cos270 * cos15 + sen270 * sen15

$=0* cos15+(-1)*sen15$

$=- sen15$

$=-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2} }{4}$

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c) cossec 15º

$cossec15= \frac{1}{sen15}$

$cossec15= \frac{1}{\frac{\sqrt{6} -\sqrt{2} }{4} }$

$cossec15=\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2} }$

$cossec15= \frac{4*(\sqrt{6} +\sqrt{2}) }{(\sqrt{6}-\sqrt{2})*(\sqrt{6} +\sqrt{2} ) }$

$cossec15= \frac{4*(\sqrt{6} +\sqrt{2}) }{6-2 }$

$cossec15= \frac{4*(\sqrt{6} +\sqrt{2}) }{4 }$

$cossec15= \sqrt{6} +\sqrt{2}$         ← Resultado final

Bom estudo.

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Sinais : ( * ) multiplicar