Question

as medidas dos lados de um retângulo são números inteiros distintos. O perímetro e a área do retângulo se exprimem pelo mesmo numero. determine esse número.

Answer 1

Dois lados iguais a X e dois lados iguais a Y.

Temos que recorrer a um artifício geométrico. Traça-se linhas distantes de 1 dos quatro lados. Note que surgirão quatro faixas finas em torno do retângulo original.

A área total (X.Y) será escrita pela soma dos retângulos menores que surgiram dentro do original:

X.1 + X.1 + (Y - 2).1 + (Y - 2).1 + (X - 2).(Y - 2) =
= 2X + 2Y - 4 + (X - 2).(Y - 2) ⇒ a dica é deixar assim mesmo por enquanto.

Perímetro = 2X + 2Y

Agora, vamos igualar o perímetro e a área total:

2X + 2Y - 4 + (X - 2).(Y - 2) = 2X + 2Y

(X - 2).(Y - 2) = 4

Lembremos que os valores X e Y são números inteiros e distintos. Neste caso, para que o produto acima seja igual a 4, temos:

X - 2 = 1 e Y - 2 = 4 ⇒ X = 3 e Y = 6

ou

X - 2 = 4 e Y - 2 = 1 ⇒ X = 6 e Y = 1

Em ambos os casos, a área e o perímetro serão iguais a X.Y = 3.6 = 18