Question

determine os valores de p para que a reta de equação 2x - y + p =0 seja tangente á circunferência de equação x² + y² - 4 =0.

Answer 1

2x - y + p = 0 => y = 2x + p (substitindo em)
x² + y² - 4 = 0 => x² + (2x + p)² - 4  = 0 
x² + 4x² +4px + p² - 4 = 0
5x² + 4px + p² - 4 = 0
Para  que exista somente um ponto em comum, da reta com a circunferência, devemos ter Δ = 0
16p² - 4.5(p² - 4) = 0
16p² -20p² + 80 = 0
-4p² = - 80
p² = 20

p = - 2√5   ou p = 2√5

Outro modo:
De x² + y² - 4 = 0 => x² + y² = 4 => r = 2
2 é a distância da origem O(0, 0) à reta tangente à circunferência.
A distância de um ponto a uma reta é dada por: d = | a.xO + b.yO + c| / √(a² + b²)
2 = |2.0 -1.0 + p| / √[2² + (-1)²]
2 = | p | / √5 => | p | = 2√5 , resolvendo a modular, vem:
p = -2√5  ou  p = 2√5

Answer 2

Os valores de p são ±2√5.

Para que uma reta seja tangente a uma circunferência, a distância entre a reta e a circunferência deve ser igual a medida do raio.

A equação de uma circunferência é da forma (x - x₀)² + (y - y₀)² = r², sendo r o raio e C = (x₀,y₀) o centro.

Então, a circunferência x² + y² = 4 possui centro na origem e raio igual a 2.

A distância entre um ponto (x₀,y₀) e uma reta ax + by + c = 0 é calculada pela fórmula:

$d=\frac{|a.x_0 + b.y_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Então,

$2 = \frac{|2.0 - 1.0 + p|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}$

$2=\frac{|p|}{\sqrt{5}}$

|p| = 2√5.

Temos duas opções: p = 2√5 ou p = -2√5.

Portanto, a reta pode ser 2x - y + 2√5 = 0 ou 2x - y - 2√5 = 0.

Para mais informações sobre circunferência, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/18901451