Question

mostre que as funções cosh(x) senh(x) verificam a equação da hipérbole x²- y² = 1 ou seja
(cosh(x))²-(senh(x))²=1​

Answer 1

As funções cosh(x) e senh(x) são dadas por:

$cosh(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2} \\ \\ senh(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2}$

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$(cosh(x))^2-(senh(x))^2 = \frac{(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2}{4} = \frac{e^{2x}+2+e^{-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}}{4} = \frac{4}{4}$

Portanto, $(cosh(x))^2 - (senh(x))^2 = 1$, de fato