Question

Calcule o limite:
$\lim_{x \to \ \frac{\pi }{2} } (tg x- secx)$

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos calcular o valor do seguinte limite:

$\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}~(\tg(x)-\sec(x))$

Primeiro, reescrevemos $\tg(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ e $\sec(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}$

$\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}~\left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}-\dfrac{1}{\cos(x)}\right)$

Some as frações

$\underset{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}~\dfrac{\sin(x)-1}{\cos(x)}$

Observe que para $x=\dfrac{\pi}{2}$, obtemos uma indeterminação do tipo $\dfrac{0}{0}$. Portanto, para calcularmos esse limite, utilizaremos a Regra de L'Hôpital.

Seja o limite da função racional $\underset{x\to c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=L$, em que $f(x)$ e $g(x)$ são contínuas e deriváveis em $x=c$ e $g'(c)\neq0$.

De acordo com a regra, nestas condições, quando o limite assume uma das sete indeterminações padrões, $\underset{x\to c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=L$.

Assim, diferenciamos a expressão no numerador e denominador da fração:

$\underset{x\to\frac{\pi}{2}}{\lim}~\dfrac{(\sin(x)-1)'}{(\cos(x))'}$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada da função seno é igual a função cosseno: $(\sin(x))'=\cos(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada da função cosseno é o oposto da função seno: $(\cos(x))'=-\sin(x)$.

Então, aplique a regra da soma

$\underset{x\to\frac{\pi}{2}}{\lim}~\dfrac{(\sin(x))'-(1)'}{(\cos(x))'}$

Calcule as derivadas

$\underset{x\to\frac{\pi}{2}}{\lim}~\dfrac{\cos(x)}{-\sin(x)}$

Multiplique a fração por um fator $\dfrac{-1}{-1}$, de modo a obtermos:

$\underset{x\to\frac{\pi}{2}}{\lim}\,-\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}$

Por fim, visto que as funções são contínuas em $x=\dfrac{\pi}{2}$, aplique a propriedade: $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)=f(c)$

$-\dfrac{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}$

Sabendo que $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ e $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$, temos:

$-\dfrac{0}{1}\\\\\\ 0~~\checkmark$

Este é o valor deste limite.