Question

Calcule o limite abaixo:

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Answer 1

Usarei o cubo da diferença de dois termos:

$\boxed{\boxed{a^{3}-b^{3}=(a-b)\cdot(a^{2}+ab+b^{2})}}$
__________________________________

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}-3x+2}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^{3}-1^{3}}{x^{2}-3x+2}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}-3x+2}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{(x-1)\cdot(x^{2}+x+1)}{x^{2}-3x+2}$

Vamos fatorar o denominador:

Usando bhaskara ou soma e produto, achamos que as raízes de x² - 3x + 2 são
 1 e 2.

Escrevendo o polinômio em função das raízes:

$x^{2}-3x+2=(x-x_{1})\cdot(x-x_{2})=(x-1)\cdot(x-2)$
______________________

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}-3x+2}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{(x-1)\cdot(x^{2}+x+1)}{(x-1)\cdot(x-2)}$

Como x não é 1 (pois o limite estuda o comportamento da função para valores de x arbitrariamente próximos de 1, mas diferentes de 1), podemos cancelar
(x - 1):

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}-3x+2}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^{2}+x+1}{x-2}$

Como essa função é contínua em x = 1, podemos fazer a substituição:

$\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}-3x+2}=\dfrac{1^{2}+1+1}{1-2}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}-3x+2}=\dfrac{3}{(-1)}\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}-3x+2}=-3}}$