Question

ângulo da reta geometria analítica a reta r:{ x= 1+2t y=t z= 3-t forma um ângulo de 60° com a reta determinada pelos pontos A (3,1,-2) e B(4,0, m).calcular o valor de m.

Answer 1

$\bullet\;\;$ Temos as equações paramétricas da reta $r:$

$r:\;\left\{ \begin{array}{l} x=1+2t\\ y=t\\ z=3-t \end{array} \right.$


Podemos reescrever a equação de $r$ como

$r:(x;\,y;\,z)=(1+2t;\,t;\,3-t)\\ \\ r:(x;\,y;\,z)=(1;\,0;\,3)+(2t;\,t;\,-t)\\ \\ r:(x;\,y;\,z)=(1;\,0;\,3)+t\cdot (2;\,1;\,-1)$


Então um vetor diretor da reta $r$ é

$\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2;\,1;\,-1)$


$\bullet\;\;$ Um vetor diretor da reta $s$ determinada pelos pontos $A(3;\,1;\,-2)$ e $B(4;\,0;\,m)$ é o próprio vetor $\overrightarrow{AB}:$

$\overrightarrow{AB}=B-A\\ \\ \overrightarrow{AB}=(4;\,0;\,m)-(3;\,1;\,-2)\\ \\ \overrightarrow{AB}=(4-3;\,0-1;\,m+2)\\ \\ \overrightarrow{AB}=(1;\,-1;\,m+2)$


$\bullet\;\;$ O ângulo $\theta$ entre as retas $r$ e $s$ é o ângulo entre os seus vetores diretores.


Pela expressão do produto escalar entre dois vetores, temos que

$\overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{AB}=\|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|\cdot \|\overrightarrow{AB}\|\cdot \cos \theta\\ \\ \cos \theta=\frac{\overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{AB}}{\|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|\cdot \|\overrightarrow{AB}\|}\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ Encontrando o produto escalar:

$\overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{AB}=(2;\,1;\,-1)\cdot (1;\,-1;\,m+2)\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{AB}=2\cdot 1+1\cdot (-1)+(-1)\cdot (m+2)\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{AB}=2-1-m-2\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{v}}\cdot \overrightarrow{AB}=-m-1\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


$\bullet\;\;$ Encontrando os módulos dos vetores:

$\|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|=\|((2;\,1;\,-1))\|\\ \\ \|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}\\ \\ \|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|=\sqrt{4+1+1}\\ \\ \|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|=\sqrt{6}\;\;\;\;\;\mathbf{(iii)}\\ \\ \\ \|\overrightarrow{AB}\|=\|(1;\,-1;\,m+2)\|\\ \\ \|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+(m+2)^{2}}\\ \\ \|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{1+1+m^{2}+4m+4}\\ \\ \|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{m^{2}+4m+6}\;\;\;\;\;\mathbf{(iv)}$


$\bullet\;\;$ Substituindo na expressão $\mathbf{(i)}$ os valores encontrados, para $\theta=60^{\circ},$ temos

$\cos 60^{\circ}=\dfrac{-m-1}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{m^{2}+ 4m+6}}\\ \\ \\ \dfrac{1}{2}=\dfrac{-m-1}{\sqrt{6\cdot (m^{2}+4m+6)}}\\ \\ \\ \sqrt{6\cdot (m^{2}+4m+6)}=2\cdot (-m-1)$


Na equação acima, tiramos que o lado direito não pode ser negativo, pois é igual à raiz quadrada de um número real. Logo, devemos ter a restrição

$2\cdot (-m-1)\geq 0\\ \\ \Rightarrow\;\;-m-1\geq 0\\ \\ \Rightarrow\;\;m\leq -1$


Elevando ao quadrado os dois lados da equação, temos

$\left[\sqrt{6\cdot (m^{2}+4m+6)} \right ]^{2}=\left[2\cdot (-m-1) \right ]^{2}\\ \\ 6\cdot (m^{2}+4m+6)=4\cdot (-m-1)^{2}\\ \\ 6\cdot (m^{2}+4m+6)=4\cdot (m+1)^{2}$


Dividindo ambos os lados por $2,$

$3\cdot (m^{2}+4m+6)=2\cdot (m+1)^{2}\\ \\ 3m^{2}+12m+18=2\cdot (m^{2}+2m+1)\\ \\ 3m^{2}+12m+18=2m^{2}+4m+2\\ \\ 3m^{2}-2m^{2}+12m-4m+18-2=0\\ \\ m^{2}+8m+16=0$


Para facilitar a fatoração do lado esquerdo, reescrevemos $8m$ como $4m+4m:$

$m^{2}+4m+4m+16=0\\ \\ m\,(m+4)+4\,(m+4)=0\\ \\ (m+4)\,(m+4)=0\\ \\ (m+4)^{2}=0\\ \\ m+4=0\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}m=-4 \end{array}}$