Question

Taxas relacionadas- nível um pouco mais elevado !

Answer 1

90. Seja $x$ a medida de um lado da base quadrada da caixa (em centímetros)

Se a base é quadrada e o volume é $32\,000\text{ cm}^{3},$ então as dimensões da caixa (comprimento, largura e altura) são, respectivamente

$x,\;x\;\text{ e }\;\frac{32\,000}{x^2}\;\;\;\;(x>0).$


$\bullet\;\;$ Para construir a caixa, serão necessários

uma base quadrada, cuja área é $x^{2};$

quatro faces laterais, e a área de cada face lateral é $x\cdot \left(\frac{32\,000}{x^{2}} \right).$


Então, a função que fornece a quantidade total de material utilizado, em função do lado da base é

$A(x)=x^{2}+4\cdot x\cdot \left(\frac{32\,000}{x^{2}} \right )\\ \\ A(x)=x^{2}+\frac{128\,000}{x}$


$\bullet\;\;$ Encontrando a primeira derivada da função acima, temos

$A'(x)=2x-\frac{128\,000}{x^{2}}$


Como queremos minimizar a área, devemos encontrar o ponto crítico, para $x>0:$

$A'(x)=0\\ \\ 2x-\frac{128\,000}{x^{2}}=0\\ \\ \frac{2x^{3}-128\,000}{x^{2}}=0\\ \\ 2x^{3}-128\,000=0\\ \\ 2x^{3}=128\,000\\ \\ x^{3}=64\,000\\ \\ x=40\text{ cm}$


$\bullet\;\;$ A altura da caixa é

$\frac{32\,000}{x^{2}}\\ \\ =\frac{32\,000}{40^{2}}\\ \\ =\frac{32\,000}{1\,600}\\ \\ =20\text{ cm}.$


$\bullet\;\;$ As dimensões da caixa são $40\text{ cm}\times 40\text{ cm}\times 20\text{ cm}.$


91. De forma análoga à questão anterior, agora temos que maximizar o volume da caixa, para uma área de

$A=1\,200\text{ m}^{2}$


$\bullet\;\;$ Se as dimensões da caixa (comprimento, largura e altura) forem

$x,\;x\text{ e }y\;\;\;\;(x >0)$

respectivamente, com o material disponível teremos:

uma base quadrada cuja área é $x^{2};$

quatro faces laterais, e a área de cada face lateral é $xy:$


$x^{2}+4xy=A\\ \\ x^{2}+4xy=1\,200\\ \\ 4xy=1\,200-x^{2}\\ \\ y=\frac{1\,200-x^{2}}{4x}\\ \\ y=\frac{1\,200}{4x}-\frac{x^{2}}{4x}\\ \\ y=\frac{300}{x}-\frac{x}{4}$


A expressão acima, nos fornece a altura da caixa.


$\bullet\;\;$ O volume da caixa, em função da medida do lado da base é dado por

$V(x)=x^{2}y\\ \\ V(x)=x^{2}\cdot \left(\frac{300}{x}-\frac{x}{4} \right )\\ \\ V(x)=300x-\frac{x^{3}}{4}$


$\bullet\;\;$ Encontrando a primeira derivada de $V$ em relação a $x:$

$V'(x)=300-\frac{3x^{2}}{4}$


Como queremos maximizar o volume, vamos encontrar os pontos críticos de $V,$ para $x>0:$

$V'(x)=0\\ \\ 300-\frac{3x^{2}}{4}=0\\ \\ 1\,200-3x^{2}=0\\ \\ 3x^{2}=1\,200\\ \\ x^{2}=\frac{1\,200}{3}\\ \\ x^{2}=400\\ \\ x=\text{20\text{ m}}$


$\bullet\;\;$ O volume máximo é

$V(20)=300\cdot (20)-\frac{(20)^{3}}{4}\\ \\ V(20)=6\,000-\frac{8\,000}{4}\\ \\ V(20)=6\,000-2\,000\\ \\ V(20)=4\,000\text{ m}^{3}$