Question

qual conjunto da solução equação abaixo

log²(x-4) = 3​

Answer 1

Resposta:

$S=\{\frac{1}{10^{\sqrt{3} }} +4, 10^{\sqrt{3} } +4\}$

Explicação:

É uma equação logarítmica em que temos um logarítmo ao quadrado. Então, vamos usar uma variável auxiliar, y. Faz sentido usar y = log(x-4), porque ficaria assim:

$y^2=3$

Eu só peguei onde aparecia log(x-4) e substituí por y.

Agora, vamos "passar" o expoente 2 para o outro lado, e vai virar uma raiz quadrada. Não esqueça do sinal de ±.

y²=3

y=±√3

Ok, temos duas raízes, 3 e -3. Mas esse é o valor de y, e na verdade queremos o valor de x. E a relação entre x e y é:

y= log(x-4)

Então vamos colocar os valores que encontramos do y nessa equação, 3 e -3:

$\sqrt{3} =log(x-4)\\log(x-4)=\sqrt{3} \\log(x-4)=log(10^{\sqrt{3}})\\x-4 = 10^{\sqrt{3}}\\x=10^{\sqrt{3}}+4$

e

$-\sqrt{3} = log (x-4)\\log(x-4)=log(10^{-\sqrt{3}})\\log(x-4)=log(\frac{1}{10^{\sqrt{3}}} )\\x-4=\frac{1}{10^{\sqrt{3} }} \\x=\frac{1}{10^{\sqrt{3} }} +4$

Pronto, temos dois valores possíveis. Precisamos testá-los na equação original para ver se eles realmente são soluções. Você tem que substituir os valores na equação original pra ver se dá tudo certo.

O primeiro valor:

$log^2(x-4)=3\\log^2(10^{\sqrt{3} }+4-4)=3\\log^2(10^{\sqrt{3} })=3\\(\sqrt{3}) ^2=3\\3=3$

Tudo certo, já que 3=3.

O segundo valor:

$log^2(x-4)=3\\log^2(\frac{1}{10^{\sqrt{3} }} +4-4)=3\\log^2(\frac{1}{10^{\sqrt{3} }}) =3\\log^2((10^{\sqrt{3} })^{-1})=3\\log^2(10^{-\sqrt{3} })=3\\(-\sqrt{3})^2=3\\3=3$

Nesse também.

Então, nosso conjunto solução é

$S=\{\frac{1}{10^{\sqrt{3} }} +4, 10^{\sqrt{3} } +4\}$