Question

Quantos numeros inteiros possuem a expressão?

Answer 1

$x+ \sqrt{x-1} =13$
Passando o x para o outro lado da igualdade e quadrando ambos os membros:
$(\sqrt{x-1})^2=(13-x)^2$
Desenvolvendo o produto notável:
$x-1=169-26x+x^2$
$x^2-27x+170=0$
Resolvendo a equação:
$x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x= \frac{27 \pm \sqrt{(-27)^2-4*1*170}}{2*1}$
$x= \frac{27 \pm \sqrt{729-680}}{2}$
$x= \frac{27 \pm \sqrt{49}}{2}$
$x= \frac{27 \pm 7}{2}$

$x'= \frac{27-7}{2}=10$
$x''= \frac{27+7}{2}=17$

Pela definição, os números inteiros são os números naturais e os números negativos.
Nessa equação, as duas soluções são inteiras.

Gabarito: Letra C

Answer 2

Resolver a equação irracional

$x+\sqrt{x-1}=13\\ \\ \sqrt{x-1}=13-x$


$\bullet\;\;$ Encontrando as condições de existência para a solução:

Analisando a última linha acima, devemos ter as seguintes restrições:

o radicando (termo "dentro da raiz quadrada") não pode ser negativo:

$x-1\geq 0\\ \\ \Rightarrow\;\;x\geq 1$


o lado direito está igualado à raiz quadrada de um número real. Logo, o lado direito também não pode ser negativo:

$13-x\geq 0\\ \\\Rightarrow\;\;x \leq 13$


Então, a condição de existência para a solução da equação é

$x \geq 1\;\text{ e }x \leq 13\\ \\ \Rightarrow1\leq x \leq 13$


$\bullet\;\;$ Resolvendo a equação, respeitando as condições acima:

$\sqrt{x-1}=13-x\\ \\ (\sqrt{x-1})^{2}=(13-x)^{2}\\ \\ x-1=169-26x+x^{2}\\ \\ 0=169+1-26x-x+x^{2}\\ \\ x^{2}-27x+170=0$


Para facilitar a fatoração do lado esquerdo, reescrevemos $-27x$ como $-10x-17x:$

$x^{2}-10x-17x+170=0\\ \\ x\,(x-10)-17\,(x-10)=0$


Agrupando os termos com o fator $(x-10)$ em comum, temos

$(x-10)\,(x-17)=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x-10=0&\;\text{ ou }\;&x-17=0\\ \\ x=10&\;\text{ ou }\;&x=17\;\;(\text{n\~{a}o serve, pois }1\leq x\leq 13) \end{array}$


Logo, a única solução válida é

$x=10$

e $10$ é um número inteiro.


Sendo assim, o conjunto solução é

$S=\{10\}$


Resposta: alternativa $\text{b) }1.$