Question

Progressão Aritmética:
Resolver a equação 3 + 8 + 13 + .... + x = 1575, sabendo que as parcelas do primeiro membro formam uma PA.

Answer 1

Oi Amanda,

Pelo termo geral de uma PA, temos:
$a_n = a_1+(n-1)r$

Logo:
$a_n = 3+(n-1)5 \\ a_n = 3+5n-5 \\ a_n = 5n-2$

Como a equação nos da uma soma, podemos aplicar a fórmula da soma de n termos de uma PA:
$S_n= \frac{(a_1+a_n)n}{2} \\ \\ 1575= \frac{(3+5n-2)n}{2} \\ \\ 3150 = n+5n^2 \\ \\ 5n^2+n-3150=0$

Note que chegamos numa equação do segundo grau:
$5n^2+n-3150=0 \\ \Delta = 1-4(5)(-3150) \\ \Delta = 1+63000 \\ \Delta = 63001 \\ \\ n' = \frac{-1+251}{10} = 25 \\ \\ n'' = \frac{-1-251}{10}= -25,2$

Como n'' é um número negativo e n é necessariamente positivo, temos que n = 25.

Então:
$a_n = a_1+(n-1)r \\ a_{25} = 3+(25-1)5 \\ a_{25} = 123 \\ \\ \boxed{x=123}$

Portanto, nessa PA, temos 25 termos e o último, denominado x, é o número 123.

Bons estudos!