Em um sistema de iluminação há três tons de luzes Ao se ligar o sistema, as luzes piscam inicialmente juntas, depois a luz vermelha pisca de 4 em 4 segundos, a verde de 6 em 6 segundos e a amarela de 15 em 15 segundos. Assim, após quanto tempo elas piscarão juntas novamente? E quantas vezes até o próximo instante em que as luzes piscarão simultaneamente, cada uma terá piscado individualmente?
Respostas
Para realizar tal tarefa, precisamos das ideias relacionadas ao Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre os números naturais fornecidos.
Para entender o motivo, observe que cada luz pisca nos instantes múltiplos do tempo que leva para piscar pela primeira vez. Ou seja,
- A luz vermelha pisca nos instantes 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ....
- A luz verde pisca nos instantes 0, 6, 12, 18, 24, 30, ....
- A luz amarela pisca nos instantes 0, 15, 30, 45, 60, 75, ....
Dessa forma, para saber após quanto tempo elas piscarão juntas novamente basta encontrar o próximo múltiplo comum de 4, 6 e 15 depois do zero (instante inicial). Realizar tal tarefa se resume em encontrar o M.M.C (Mínimo múltiplo comum) de 4, 6 e 15. Observe que o zero não é considerado o mínimo múltiplo comum.
Para calcular o M.M.C entre tais números, realizamos como segue:
1) Coloque os números lado a lado separados por vírgulas e antecedidos de uma barra vertical.
4, 6, 15 |
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2) Pense em um número primo que divida pelo menos um dos números. Coloque esse número após a barra. Nesse caso, começo com o 2:
4, 6, 15 | 2
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3) Os resultados das divisões são colocados em baixo dos respectivos números. Se algum não dividir, basta repeti-lo.
4, 6, 15 | 2
2 , 3, 15 |
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4) Continue com o processo. Observe que novamente posso continuar a dividir por 2, pois o 2 é par.
4, 6, 15 | 2
2 , 3, 15 | 2
1 , 3, 15 |
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5) O próximo primo é o 3. Vemos que tanto o 3 quanto o 15 são múltiplos.
4, 6, 15 | 2
2 , 3, 15 | 2
1 , 3, 15 | 3
1 , 1 , 5 |
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6) Finalmente, divide-se agora por 5.
4, 6, 15 | 2
2 , 3, 15 | 2
1 , 3, 15 | 3
1 , 1 , 5 | 5
1 , 1 , 1 |
Observe que chegamos ao final a 1, 1, 1. Esse é sempre o objetivo. Para encontrar o M.M.C., basta multiplicar os números a direita da barra.
M.M.C.(4, 6, 15) = 2 2
3
5 = 60
Assim, após 60 segundos elas piscarão novamente.
Para a segunda parte da pergunta, basta observar qual múltiplo o 60 é para cada um dos números 4, 6 e 15 (excluindo o zero).
- 60 é o 15º múltiplo de 4 (excluindo o zero). Logo, a luz vermelha piscará 14 vezes até o instante em que piscará junta com as outras novamente.
- 60 é o 10º múltiplo de 6 (excluindo o zero). Logo, a luz verde piscará 9 vezes até o instante em que piscará junta com as outras novamente.
- 60 é o 4º múltiplo de 15 (excluindo o zero). Logo, a luz verde piscará 3 vezes até o instante em que piscará junta com as outras novamente.
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