Question

Qual cônica a equação x2 −y2 −2x+ 4y −5 = 0 representa? Determine o(s) vértice(s) e foco(s) dessa cônica.

Answer 1

$\text x^2 - \text y^2-2\text x + 4\text y-5 = 0$

Vamos completar quadrados somando 1 e -4 dos dois lados :

$\text x^2-2\text x+ 1 - \text y^2 + 4\text y - 4 - 5 = 1 - 4$

$(\text x-1)^2 -(\text y-2)^2 = 1-4+5$

$(\text x-1)^2-(\text y-2)^2=2$

dividindo os dois lados por 2 :

$\displaystyle \frac{(\text x-1)^2}{2}-\frac{(\text y-2)^2}{2}=1$

Isso é um Hipérbole sendo :

Centro : ( 1, 2 )

Temos :

$\text a^2 = 2 \to \text a = \sqrt 2$

$\text b^2 = 2 \to \text b = \sqrt 2$

Eixo real :

$\text{2.a} = 2\sqrt{2}$

Eixo imaginário :

$2.\text b = 2\sqrt2$

Equação fundamental para achar a distância focal :

$\text c^2 = \text a^2+\text b^2$

$\text c^2 = 2+2 \\\\ \text c = \sqrt{4} \\\\ \text c = 2$

Distância focal :

$2.\text c = 4$

Os vértices de uma hipérbole é dado por :

$\text A_1(\ \text x_\text c-\text a\ , \ \text y_\text c\ ) \ ; \ \text A_2(\ \text x_c + \text a\ ,\ \text y_\text c\ )$

Portanto os Vértices são  :

$\huge\boxed{\text A_1(\ 1-\sqrt{2} \ , \ 2\ ) \ ; \ \text A_2(\ 1 + \sqrt2\ ,\ 2\ ) }\checkmark$

Os Focos de uma hipérbole são dados por :

$\text F_1 ( \ \text x_c - \text c \ , \ \text y_\text c\ ) \ ; \ \text F_2(\ \text x_\text c + \text c\ , \ \text y_\text c \ )$

substituindo :

$\text F_1 ( \ 1-2 , \ 2\ ) \ ; \ \text F_2(\ 1+2\ , \ 2\ )$

Portanto os Focos são :

$\huge\boxed{\text F_1 ( \ -1, \ 2\ ) \ ; \ \text F_2(\ 3\ , \ 2\ )}\checkmark$