Question

Álgebra linear - podem me explicar como resolve?

Answer 1

As transformações lineares devem ser obrigatoriamente combinações lineares dos vetores que a compõem, então se estamos no $\large\begin{aligned}\mathbb{R}^2\end{aligned}$ as transformações lineares possíveis devem ser:

                              $\Large\begin{aligned}T:\mathbb{R}^2&\to \mathbb{R}^2\\ \\T(x,\ y)& \mapsto (\alpha x+\beta y,\ \gamma x+\delta y)\\ \\\end{aligned}$

E claro

$\Large\begin{aligned}\alpha,\ \beta,\ \gamma, \ \delta \in \mathbb{R}\end{aligned}$

Então teremos que montar a transformação de cada um dos vetores e então escrever o sistema, depois disso basta resolvé-lo

                              $\Large\begin{aligned}T:\mathbb{R}^2&\to \mathbb{R}^2\\ \\T(1,\ -1)& \mapsto (\alpha -\beta ,\ \gamma -\delta )\\ \\\end{aligned}$

                              $\Large\begin{aligned}&T(1,\ -1) = (1 ,\ 0 )\\ \\&\begin{cases}\alpha - \beta = 1\\ \\\gamma - \delta = 0 \\\end{cases}\end{aligned}$

Segundo vetor:

                               $\Large\begin{aligned}T:\mathbb{R}^2&\to \mathbb{R}^2\\ \\T(2,\ -1)& \mapsto (2\alpha -\beta ,\ 2\gamma -\delta )\\ \\\end{aligned}$

                               $\Large\begin{aligned}&T(2,\ -1) = (0 ,\ 1 )\\ \\&\begin{cases}\ 2\alpha -\beta = 0\\ \\ 2\gamma - \delta = 1 \\\end{cases}\end{aligned}$

Para o terceiro vetor basta fazer o mesmo:

                              $\Large\begin{aligned}T:\mathbb{R}^2&\to \mathbb{R}^2\\ \\T(-3,\ 2)& \mapsto (-3\alpha +2\beta ,\ -3\gamma +2\delta )\\ \\\end{aligned}$

                              $\Large\begin{aligned}&T(-3,\ 2) = (1 ,\ 1 )\\ \\&\begin{cases}\ -3\alpha + 2\beta = 1\\ \\ -3\gamma +2 \delta = 1 \\\end{cases}\end{aligned}$

Então com isso temos um sistema com 4 incógnitas e 6 equações:

$\Large\begin{aligned}&\begin{cases} \alpha -\beta = 1\\ \\ \gamma -\delta = 0 \\ \\ 2\alpha -\beta = 0\\ \\ 2\gamma -\delta = 1 \\ \\ -3\alpha + 2\beta = 1\\ \\ -3\gamma +2 \delta = 1 \end{cases}\end{aligned}$

Esse sistema é impossível e indeterminado, portanto não existe transformação linear.

A transformação existiria se fosse apenas os dois primeiros vetores, podemos ver que ela não existe por outro motivo:

                               $\Large\begin{aligned}\vec{v}_3& = -\vec{v}_1 -\vec{v}_2 \\ \\T(\vec{v}_3) &= T(-\vec{v}_1 -\vec{v}_2)\\ \\T(\vec{v}_3) &= T(-\vec{v}_1) + T(-\vec{v}_2)\\ \\T(\vec{v}_3)& = -T(\vec{v}_1) - T(\vec{v}_2)\\ \\\end{aligned}$

E portanto, se as duas primeiras transformações forem satisfeitas, temos que a transformação é

                            $\Large\begin{aligned}T:\mathbb{R}^2&\to \mathbb{R}^2\\ \\T(x,\ y)& \mapsto (-x -2y ,\ x+y)\\ \\\end{aligned}$

O que nos leva aos resultados:

$\Large\begin{aligned}T(\vec{v}_1) &=(-1-2\cdot -1,\ 1 -1) \\ \\T(\vec{v}_1) &= (1, \ 0) \\ \\ \\T(\vec{v}_1) &=(-2\cdot 1-2\cdot -1,\ 2 -1) \\ \\T(\vec{v}_2) &=(0, \ 1) \\ \\\end{aligned}$

Porém como descrito acima:

$\Large\begin{aligned}T(\vec{v}_3)& = -T(\vec{v}_1) - T(\vec{v}_2)\\ \\T(\vec{v}_3)& = -(0,\ 1) -(1, \ 0)\\ \\T(\vec{v}_3)& = (0,\ -1) +(-1, \ 0)\\ \\T(\vec{v}_3)& = (-1,\ -1)\\ \\\end{aligned}$

Caso esse fosse o vetor w3, seria possível a transformação e ela está descrita acima, fiz essa explicação pois há um erro de digitação no vetor 3 então possa ser que ele tenha errado as valores também, dito isso, como está escrito no enunciado, não há transformação linear.

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.