Question

Aplicando o dispositivo pratico de briot-ruffini, calcule o quociente e o resto da divisão de P(x) por G(x):

a) F(x) = x⁴ - 3x² + x – 2 e G(x) = x + 1.

b) F(x) = x³ + x² + 2x – 1 e G(x) = x – 1.

Answer 1

Resposta:

a) Quociente  = x³ - x² - 2 x + 3        Resto = - 5

b) Quociente = x² + 2 x + 4       Resto = 3

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

Aplicando o dispositivo pratico de Briot - Ruffini, calcule o quociente e o resto da divisão de P(x) por G(x):

a) F(x) = x⁴ - 3x² + x - 2       e         G(x) = x + 1

b) F(x) = x³ + x² + 2x – 1      e         G(x) = x - 1

Resolução:

a) F(x) = x⁴ - 3x² + x - 2       e         G(x) = x + 1

Dois aspetos a ter extrema atenção:

F(x)  não está apresentado como um polinómio completo de grau 4

Mas

x⁴  + 0x³ - 3x² + x - 2     isso sim !

G(x) tem que estar na forma ( x - k) , k ∈  R

x + 1 = x - ( -1 )

para isso calcula-se a raiz de x + 1

x + 1 = 0

x = - 1  

Vamos montar o dispositivo de Briot-Ruffini através da raiz de G(x) e dos coeficientes de F(x):

 - 1  |    1       0     - 3      1        | - 2

        |   1     - 1     - 2      3       | - 5                      

raiz de x + 1 | coeficientes de F(X)        | termo independente de F(x)

                    |   a      b     c     d              | resto

a = ao coeficiente do monómio de maior grau de F(x)   = 1

b = produto de "a" pela "raiz de G(x)" + "o coeficiente do monómio seguinte de F(x)" = 1 * ( - 1 ) + 0  = - 1

c = produto de "b" pela "raiz de G(x)" + "o coeficiente do monómio seguinte de F(x)" = - 1 * ( - 1 ) + ( - 3 ) = - 2

d = produto de "c" pela "raiz de G(x)" + "o coeficiente do monómio seguinte de F(x)" = - 2 * ( - 1 ) + 1 = 3

resto = 3 * ( - 1 ) + ( - 2 ) = - 5

O quociente vai ser do tipo :     a * x³ + b * x² + c * x + d

Logo

Quociente  = 1 * x³ - 1 * x² - 2 * x + 3

Quociente  = x³ - x² - 2 x + 3     (este é um polinómio de grau 3)

Resto = - 5

Quando se aplica este dispositivo prático, passamos de um polinómio de grau "n" para um polinómio de grau " n - 1"

Neste caso passamos de um polinómio de grau 4 para um polinómio de grau 3

Por isso se diz que, usando este método, baixamos de grau ao polinómio inicial.

b) F(x) = x³ + x² + 2x – 1      e         G(x) = x - 1

raiz de G(x)  

x - 1 = 0  

⇔

x = 1

 1   |    1       1     2   | - 1

     |      1       2    4 |   3                  

Quociente = x² + 2 x + 4  

Resto = 3

Bom estudo.

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Sinais: ( * )