Question

Lim x ->0+ x/sen(√3x)
Gostaria de saber como se resolve esse limite sem usar a regra de L’Hospital

Answer 1

Olá,

Temos o limite:

$\tt lim_{x \to \: 0} \: \frac{x}{sen( \sqrt{3}x) }$

Vamos multiplicar a função por $\tt \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } {:}$

$\tt lim_{x \to \: 0} \: \frac{x}{sen( \sqrt{3}x) } \cdot \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } \\ \\ \tt = lim_{x \to \: 0} \: \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot\frac{ \sqrt{3} x}{sen( \sqrt{3}x) } \\ \\ \tt = lim_{x \to \: 0} \: \frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot \left( \frac{1}{ \dfrac{sen( \sqrt{3} x)}{ \sqrt{3} x} } \right) \\ \\ \tt = lim_{x \to \: 0} \: \left( \dfrac{ \dfrac{1}{ \sqrt{3} } }{ \dfrac{sen( \sqrt{3}x) }{ \sqrt{3} x} } \right)$

Lembre-se da propriedade:

$\boxed{\tt \: lim_{x \to \: a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{lim_{x \to \: a} \: f(x)}{lim_{x \to \: a} \: g(x)} \: ; \: g(x) \ne0 }$

Logo:

$\tt = \dfrac{lim_{x \to \: 0} \: \dfrac{1}{ \sqrt{3} } }{lim_{x \to \: 0} \: \dfrac{sen( \sqrt{3}x) }{ \sqrt{3}x } }$

Recorde o Limite Trigonométrico:

$\boxed{\tt \: lim_{x \to \: 0} \: \frac{sen(x)}{x} = 1}$

E o limite de uma constante:

$\boxed{ \tt \: lim_{x \to \: a} \: k = k}$

Assim:

$\tt = \dfrac{ \dfrac{1}{ \sqrt{3} } }{1} \\ \\ \tt = \frac{1}{ \sqrt{3} }$

Simplificando (opcional):

$\tt =\frac{1}{ \sqrt{3} } \cdot \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } \\ \\ \tt= \frac{ \sqrt{3} }{( \sqrt{3} {)}^{2} } \\ \\ \tt = \frac{ \sqrt{3} }{3}$

Portanto:

$\boxed{ \tt lim_{x \to \: 0} \: \frac{x}{sen( \sqrt{3}x) } = \frac{ \sqrt{3} }{3} }$