Question

Sejam os vetores u= ( 2, -3, 2 ) e v=(-1, 2, 4 ) em R³. Escrever o vetor w = (7, 11,2) . Como combinação linear de u e v

Answer 1

Dados três vetores

$\mathbf{u}=(2;\,-3;\,2),\;\mathbf{v}=(-1;\,2;\,4)\;\text{ e }\;\mathbf{w}=(7;\,11;\,2)$


verificar se existem escalares $\alpha$ e $\beta$, de forma que

$\mathbf{w}=\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v}\\ \\ (7;\,11;\,2)=\alpha\cdot (2;\,-3;\,2)+\beta\cdot (-1;\,2;\,4)\\ \\ (7;\,11;\,2)=(2\alpha;\,-3\alpha;\,2\alpha)+(-\beta;\,2\beta;\,4\beta)\\ \\ (7;\,11;\,2)=(2\alpha-\beta;\,-3\alpha+2\beta;\,2\alpha+4\beta)\\ \\ \left\{ \begin{array}{c} 2\alpha-\beta=7\\ -3\alpha+2\beta=11\\ 2\alpha+4\beta=2 \end{array} \right.$


Vamos tentar resolver o sistema acima. Subtraindo a primeira equação da terceira, chegamos a

$4\beta-(-\beta)=2-7\\ \\ 5\beta=-5\\ \\ \beta=-1$


Substituindo na primeira equação, chegamos a

$2\alpha-(-1)=7\\ \\ 2\alpha+1=7\\ \\ 2\alpha=7-1\\ \\ 2\alpha=6\\ \\ \alpha=3$


Verificando se os valores encontrados satisfazem a segunda equação:

$-3\alpha+2\beta=11\\ \\ -3\cdot (3)+2\cdot (-1)=11\\ \\ -3\cdot (3)+2\cdot (-1)=11\\ \\ -9-2=11\\ \\ -11=11\\ \\ -11-11=0\\ \\ -22=0\;\;\rightarrow\;\text{(absurdo)}$


O sistema não possui solução, então não podemos escrever $\mathbf{w}$ como combinação linear de $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}.$


Neste caso, dizemos que estes três vetores são linearmente independentes.