Question

Encontre o comprimento de arco exato das curvas acima dos intervalos
dados:
a) y = 3x^3/2 − 1, de x = 0 até x = 1;
b) y = x^2/3, de x = 1 até x = 8;
c) y = x^6+8/16x2 , de x = 2 até x = 3;

Answer 1

$\boxed{\boxed{ L=\int\limits^a_b { \sqrt{1+[f'(x)]^2} } \, dx }}$
a)
$y=3x ^\frac{3}{2} \\\\y'= \frac{9x^{ \frac{1}{2} }}{2}$

elevando ao quadrado
$(y')^2 =\left(\frac{9x^{ \frac{1}{2} }}{2} \right)^2 = \frac{9^2*x^{ \frac{1}{2} *2}}{2^2} = \frac{81x}{4}$

a integral fica
$L = \int\limits^1_0 {\left( \sqrt{1+ \frac{81x}{4} } \right)} \, dx$

u= 1+(81/4) x
u = (4+81x)/4

du = (81/4) dx
(4/81) du = dx

$L= \frac{4}{81} \int\limits^1_0 { \sqrt{u} } \, dx \\\\\\L= \frac{4}{81} \left[\left( \frac{2u^{ \frac{3}{2} }}{3} \right) \right]^1_0\\\\\\L= \frac{4}{81}* \frac{2}{3} \left[\left( \sqrt{u^3} \right) \right]^1_0\\\\\\\L= \frac{8}{243} \left[ u* \sqrt{u} \right]^1_0\\\\\\L= \frac{8}{243} *\left[ \frac{4+81x}{4} \sqrt{ \frac{4+81x}{4} } \right]^1_0$

$L= \frac{8}{243} *\left[ \frac{4+81x}{4} \sqrt{ \frac{4+81x}{4} } \right]^1_0\\\\ L= \frac{8}{243} *\left[ \frac{4+81x}{4} * \frac{ \sqrt{ 4+81x }}{2} \right]^1_0\\\\L= \frac{8}{243}* \frac{1}{4}* \frac{1}{2}*\left[ (4+81x* \sqrt{4+81x} \right]^1_0 \\\\L= \frac{1}{243} \left[\left( 85 \sqrt{85} \right) - \left(4 \sqrt{4} \right) \right]\\\\\\\\\boxed{\boxed{L= \frac{1}{243} \left[85 \sqrt{85}-8 \right]}}$

Answer 2

Os comprimentos dos arcos das curvas nos intervalos dados são: a) 1,97184; b) 22,4172; c) 4,1319.

Primeiramente, é importante lembrarmos que o comprimento do arco de uma função em um determinado intervalo é definido por:

• $\boxed{\int\limits^a_b {\sqrt{1+(f'(x))^2}} \, dx }$.

a) Sendo y = 3x³/2, temos que a sua derivada é y' = 9x²/2. Elevando ao quadrado, obtemos (y')² = 81x⁴/4.

Portanto, o comprimento será:

$L=\int\limits^1_0 {\sqrt{1+\frac{81x^4}{4}}} \, dx$

L = 1,97184.

b) A função é y = x²/3 e a sua derivada é y' = 2x/3. Elevando a derivada ao quadrado, obtemos (y')² = 4x²/9.

Portanto, o comprimento da curva será:

$L=\int\limits^8_1 {\sqrt{1+\frac{4x^2}{9}}} \, dx$

L = 22,4172.

c) A função é y = (x⁶ + 8)/16x² e a sua derivada é igual a (x⁶ - 4)/4x³.

Elevando a derivada ao quadrado, obtemos (y')² = (x⁶ - 4)²/16x⁶.

Logo, podemos afirmar que o comprimento da curva é:

$L=\int\limits^3_2 {\sqrt{1+\frac{(x^6-4)^2}{16x^6}}} \, dx$

L = 4,1319.

Exercício sobre integral: https://brainly.com.br/tarefa/20009976