Question

Lim de quando x tende a -3/2 6x²+11x+3/ 2x²-5x-12

Answer 1

Olá, boa tarde.

Buscamos o valor do seguinte limite:

$\underset{x\rightarrow-\frac{3}{2}}{\lim}~\dfrac{6x^2+11x+3}{2x^2-5x-12}$

Observe que quando $x=-\dfrac{3}{2}$, obtemos a indeterminação $\dfrac{0}{0}$. Neste caso, utilizaremos a Regra de L'Hôpital para calcularmos o valor deste limite.

A regra enuncia que dado o limite da função racional $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=L$, contínuas e diferenciáveis em $x=c$, sendo este igual a uma das sete indeterminações como $\dfrac{0}{0}$ pode ser calculado como: $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=L$, para $g'(c)\neq0$.

Então, diferenciamos as funções no numerador e denominador

$\underset{x\rightarrow-\frac{3}{2}}{\lim}~\dfrac{(6x^2+11x+3)'}{(2x^2-5x-12)'}$

Aplique a regra da soma: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$

$\underset{x\rightarrow-\frac{3}{2}}{\lim}~\dfrac{(6x^2)'+(11x)'+(3)'}{(2x^2)'-(5x)'-(12)'}$

Aplique a regra da constante: $(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x)$ e lembre-se que a derivada de uma constante é igual a zero

$\underset{x\rightarrow-\frac{3}{2}}{\lim}~\dfrac{6\cdot(x^2)'+11\cdot(x)'+0}{2\cdot(x^2)'-5\cdot(x)'-0}$

Aplique a regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$, lembrando que $x=x^1$ e $x^0=1$

$\underset{x\rightarrow-\frac{3}{2}}{\lim}~\dfrac{6\cdot 2\cdot x^{2-1}+11\cdot1\cdot x^{1-1}}{2\cdot2\cdot x^{2-1}-5\cdot1\cdot x^{1-1}}$

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos

$\underset{x\rightarrow-\frac{3}{2}}{\lim}~\dfrac{12x+11}{4x-5}$

Então, calcule o limite

$\dfrac{12\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)+11}{4\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)-5}$

Multiplique e some os valores

$\dfrac{-18+11}{-6-5}\\\\\\ \dfrac{-7}{-11}$

Simplifique a fração por um fator $(-1)$

$\dfrac{7}{11}~~\checkmark$

Este é o valor deste limite.