Question

(UNICAMP-SP-adaptada) – Seja x número real tal que sen x + cos⁡x = 0,2. Logo, │sen x – cos x│ é igual a
a) 0,5
b) 0,8
c) 1,2
d) 1,1
e) 1,4

Answer 1

Resposta:

e) 1,4

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

Seja x número real tal que sen x + cos⁡x = 0,2.

Logo, │sen x – cos x│ é igual a ?

Resolução:

Sabemos que sen x + cos⁡x = 0,2

Informação útil mas que não permite saber o valor de sen x nem de cos x, nem os relacionar.

Resolvendo a equação  sen x + cos⁡x = 0,2  em ordem a sen x obtemos:

sen x = 0,2 - cos x

Elevando ambos os membros ao quadrado ficamos com

(sen x )² = (0,2 - cos x )²

No segundo membro temos um Produto Notável " O quadrado de uma diferença".

Que desenvolve da seguinte maneira:

O quadrado do primeiro termo + o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo + o quadrado do segundo termo

(sen x )² = (0,2)²  + 2 * 0,2 * ( - cos x ) + ( - cos x )²  

(sen x )² = (0,2)²  - 0,4 cos x + (cos x )²

Temos duas incógnitas, "senx" e "cos x"  e até ambas elevadas ao quadrado.

Repare que através da Lei Fundamental da Trigonometria

(sen x )² + (cos x )² = 1

donde podemos retirar que

(sen x )² = 1 -  (cos x )²

Pegando nesta informação, válida para qualquer valor de x, vamos substituir (sen x )²   por   1 -  (cos x )²  e assim ficamos só com uma incógnita "cos x ".

1 - (cos x)²  =  (0,2)²  - 0,4 cos x + (cos x )²

Observação 1 → trabalhar com números decimais e menos fácil do que trabalhar com frações.

Assim

0,2 = 2/10 = 1/5            e            0,4 = 4/10 = 2/5

1 - (cos x)²  =  (1/5)²  - 2/5 cos x + (cos x )²

⇔

(1/5)²  - 2/5 cos x + (cos x )² = 1 - (cos x)²

Observação 2 → quando se trocam na totalidade os membros de uma equação, não é necessário fazer alterações de sinais.

Passamos todos os termos para o primeiro membro já estamos na presença de uma equação do 2º grau.

(cos x )² + (cos x )²  - 2/5 cos x + 1/25 - 1 = 0

2(cos x )² - 2/5 cos x + 1/25 - 25/25 = 0

2(cos x )² - 2/5 cos x  - 24/25 = 0

A etapa seguinte é "desembaraçar de denominadores".

Mas para que isso seja possível todos os termos têm que todos eles serem iguais.

$\frac{2(cosx)^{2} }{1} -\frac{2*cosx}{5} -\frac{24}{25}=0$

Multiplicar numerador e denominador da primeira fração por 25

Multiplicar numerador e denominador da segunda fração por 5

$\frac{2*25(cosx)^{2} }{1*25} -\frac{2*5*cosx}{5*5} -\frac{24}{25}=0$

Agora que todas as frações têm o mesmo denominador, podemos o "retirar".

50 (cos x )² - 10 cos x - 24 = 0

Simplificando, dividindo todos os termos por 2

25 (cos x )² - 5 cos x - 12 = 0

Usando a Fórmula de Bhascara    

$cos x = \frac{5+ \sqrt{25+1200} }{2*25}$          ∨          $cos x = \frac{5- \sqrt{25+1200} }{2*25}$  

cos x = 40/50                ∨          cos x = - 30/50

simplificando

cos x = 4/5                ∨          cos x = - 3/5

se    cos x = 4/5        ( 1 )    

(sen x)² + ( 4/5 )² = 1

(sen x)²  = 25/25 - 16/25

(sen x)²  = 9/25

sen x = + √(9/25)     ∨   sen x = - √(9/25)

sen x = 3/5     ∨  sen x = - 3/5

se    cos x = - 3/5                ( 2 )

(sen x)² + ( - 3/5 )² = 1

(sen x)²  = 25/25 - 9/25

(sen x)²  = 16/25

sen x  = +  4/5     ∨  sen x = - 4/5

Como elevamos a equação inicial ao quadrado temos de verificar quais as soluções que servem para :

sen x + cos x = 1/5

Por ( 1 )

cos x  = 4/5  e sen x = 3/5     ( este par não serve)

3/5 + 4/5 = 1/5

7/5 = 1/5  falso    logo o par   cos x = 4/5  e sen x  =  3/5   não serve

cos x  = 4/5  e sen x = - 3/5   ( este par serve )  

- 3/5 + 4/5 = 1/5

1/5 = 1/5    verdadeiro  

Por ( 2 )

cos x = - 3/5   e sen x = 4/5   este par serve

4/5 - 3/5 = 1/5

1/5 = 1/5

cos x = - 3/5   e  sen = - 4/5

- 4/5 - 3/5 = 1/5

- 7/5 = -1/5  Falso

Agora pegando em cos x  = 4/5  e sen x = - 3/5   ( este par serve )

| - 3/5 - 4/5 |

= | - 7/5 |

= 7/5

= 1/4

cos x = - 3/5   e sen x = 4/5   este par serve

| 4/5 - ( - 3/5 ) |

= | 4/5 + 3/5  |

= | 7/5 |

= 7/5

= 1,4

Quer seja  

cos x  = 4/5  e sen x = - 3/5

ou

cos x = - 3/5   e sen x = 4/5

O valor final é de 1,4

Bom estudo.

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Sinais : (  / ) dividir        ( * ) multiplicar             ( ⇔ ) equivalente a